[論文レビュー] Analytic skew-products of quadratic polynomials over Misiurewicz-Thurston maps

Rui Gao, Weixiao Shen|arXiv (Cornell University)|Jul 11, 2012

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 3被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、ミシュエレヴィッチ＝トゥルストン写像上に定義された二次多項式の解析的スケイ・積について研究し、結合関数が奇数次の非定数多項式である場合、系はほとんど everywhere で2つの正のリャプノフ指数を示し、一意の絶対連続不変確率測度を有することを証明する。解析は、系を一様に拡大する基本写像に共役化し、部分双曲性および解析的性質を用いて臨界線への再帰を制御することに依存する。

ABSTRACT

We consider skew-products of quadratic maps over certain Misiurewicz-Thurston maps and study their statistical properties. We prove that, when the coupling function is a polynomial of odd degree, such a system admits two positive Lyapunov exponents almost everywhere and a unique absolutely continuous invariant probability measure.

研究の動機と目的

• ミシュエレヴィッチ＝トゥルストン写像上の二次多項式のスケイ・積と多項式結合関数の統計的性質を調査すること。
• このような系に対して絶対連続不変確率測度（a.c.i.p.）の存在と一意性を確立すること。
• 適切な結合条件のもとで、系がほとんど everywhere で2つの正のリャプノフ指数を有することを証明すること。
• 従来の高次元スケイ・積における非一様拡大性に関する結果を、基本写像に対する仮定を弱め、結合関数を一般化することで拡張すること。

提案手法

• 元のスケイ・積写像を共役写像 $ u $ を用いて変換し、基本写像を区間 $ I_a $ 上の一様に拡大する写像 $ h_0 $ に変換する。
• ミシュエレヴィッチ＝トゥルストン写像 $ Q_a $ の部分双曲性を用いて、$ u^{-1} $ および $ h_0 $ の逆分岐写像が解析的性質を有するように $ u $ を構成する。
• 系を $ I_a \times \mathbb{R} $ 上の新しいスケイ・積 $ F $ に変換し、基本写像 $ h = h_0^{m_1} $ は一様に拡大的であり、結合関数 $ \phi = \varphi \circ u^{-1} $ は奇数次の多項式である。
• 水平曲線が反復により $ y $ 方向に非平坦かつ広がることを示すことにより、軌道の臨界線 $ y=0 $ への再帰を制御する。これには命題 3.1 および補題 4.1 を用いる。
• 「拡大の構築」補題（補題 2.7）および非一様拡大理論の結果を適用し、$ F $ が [3] の意味で非一様に拡大的であることを証明する。
• a.c.i.p. の存在を保証する [3, 定理 C] の条件を検証する。これには逆微分のノルムの減衰および再帰の制御が含まれ、不変測度の存在と一意性を結論づける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ミシュエレヴィッチ＝トゥルストン二次写像と多項式結合関数のスケイ・積が、どのような条件下で2つの正のリャプノフ指数を有するか。
• RQ2 結合関数が非定数の奇数次の多項式である場合、そのような系は一意の絶対連続不変確率測度を有するか。
• RQ3 奇数次の結合関数という仮定を除去可能か、あるいは証明の枠組みにおいて本質的か。
• RQ4 一様に拡大する基本写像への共役化が、スケイ・積系における再帰および拡大の制御をどのように支援するか。

主な発見

• 十分に小さい任意の $ \alpha > 0 $ および $ m_1 \geq m_0(a) $ に対して、スケイ・積写像 $ \mathscr{F} $ はほとんど everywhere で2つの正のリャプノフ指数を有する。
• 系は、ルベーグ測度に関して一意の絶対連続不変確率測度を有する。
• 垂直方向のリャプノフ指数は、ほとんどすべての $ (\theta, y) $ に対して $ \liminf_{n \to \infty} \frac{1}{n} \log \left| \frac{\partial f_n}{\partial y} \right| \geq \frac{\eta}{2} \log \sigma > 0 $ を満たし、垂直方向における非一様拡大性が確認される。
• 共役化された系 $ F $ は、[3, 定理 C] のすべての条件を満たしており、$ \alpha $ が十分に小さい場合に a.c.i.p. の存在を保証する。
• a.c.i.p. の一意性は、$ F $ の最小の前進不変集合上での位相的厳密性および測度論的バシンの性質から導かれる。
• 現在の証明枠組みにおいて、結合関数 $ \varphi $ が奇数次の多項式であるという仮定は不可欠であり、これは補題 2.6 及びその議論で示されている。