[論文レビュー] Analytic solution of nonlinear fractional Burgers-type equation by invariant subspace method

Pietro Artale Harris, Roberto Garra|arXiv (Cornell University)|Jun 8, 2013

Fractional Differential Equations Solutions参考文献 8被引用数 22

ひとこと要約

本稿では、Caputo時間分数導関数を含む非線形時間分数型Burgers方程式に対して、不変部分空間法を用いた解析的解法を提示している。この手法により、非線形時間分数型Burgers方程式の正確な解が得られる。累乗関数および特殊関数で張られる不変部分空間を同定することで、分数階微分方程式系を用いて正確な解が導出され、強制項や変数係数を含む場合にも応用可能である。さらに、空間的および時間的分数階導関数を含む方程式に対してもこの手法を拡張している。

ABSTRACT

In this paper we study the analytic solutions of Burgers-type nonlinear fractional equations by means of the Invariant Subspace Method. We first study a class of nonlinear equations directly related to the time-fractional Burgers equation. Some generalizations linked to the forced time-fractional Burgers equations and variable-coefficient diffusion are also considered. Finally we study a Burgers-type equation involving both space and time-fractional derivatives.

研究の動機と目的

• 非線形時間分数型Burgers型方程式を解くための正確な解析的手法の開発。
• 不変部分空間法をCaputo導関数を有する分数階微分方程式へ拡張すること。
• 流体力学およびビスコエラスティシティ分野における非線形分数マーベルス型PDEに対する正確な解法の不足を解消すること。
• 強制項や変数係数拡散項を含む方程式への手法の一般化。
• 空間的および時間的分数階導関数を含む方程式への手法の適用。

提案手法

• 不変部分空間法を、Burgers方程式に関連する非線形時間分数拡散方程式にxに関する微分を施すことにより適用する。
• 関数$1$および$x^\beta$で張られる不変部分空間を同定し、$u(x,t) = a(t)x^\beta + \text{const}$の形の解を得る。
• PDEを時間依存係数$a(t), b(t), c(t)$の分数階常微分方程式系に還元することで、正確な解を導出する。
• 分数階微分をCaputoの意味で取り扱い、Riemann-Liouville積分および既知の分数階微積分の恒等式を用いることができる。
• 分数階積分およびガンマ関数の性質、特に$J^\alpha t^{\delta}$および$D^\alpha t^{\delta}$を用いて解を構成する。
• 時間依存拡散係数$k(t)$を含む方程式および空間的および時間的分数階導関数を含む方程式へもこの手法を拡張する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 不変部分空間法は、非線形時間分数型Burgers型方程式に対して正確な解析的解を導出可能か？
• RQ2 変数係数や外部力項を含む方程式にこの手法をどのように適合できるか？
• RQ3 空間的および時間的分数階Caputo導関数を含むBurgers型方程式の正確な解は何か？
• RQ4 $\alpha \to 1$および$k \to 0$の極限において解はどのように振る舞い、古典的Burgers方程式との関係は何か？
• RQ5 分数階設定において解の存在および一意性を保証する条件は何か？

主な発見

• 不変部分空間アプローチを用いて、時間分数型Burgers方程式を分数階常微分方程式系に変換することで、正確な解が得られた。
• 強制項を含む時間分数型Burgers方程式の解は、$a(t), b(t), c(t)$を含む分数階常微分方程式系を解くことで導出され、$a(t)$は分数階積分を用いて表現される。
• 時間依存拡散係数$k(t)$を含む方程式では、$k(t) \in L_1([0,t])$を満たす限り解が存在し、分数階積分を用いて構成される。
• 方程式$\partial_t^\alpha u + u \partial_x^\beta u = 0$に対して、$u(x,t) = -\frac{\Gamma(1-\alpha)}{\Gamma(\beta+1)\Gamma(1-2\alpha)} \frac{x^\beta}{t^\alpha} + \text{const}$の形の正確な解が得られた。この解は$\alpha \in (0,1) \setminus \{1/2\}$で有効である。
• 極限$\alpha \to 1$において、解は古典的Burgers方程式の解に還元され、$t$が$t^\alpha / C_\alpha$に置き換えられる。ここで$C_\alpha = -\Gamma(1-\alpha)/\Gamma(1-2\alpha)$である。
• この手法が、より複雑な分数階方程式へも拡張可能であることが示され、分数マーベルス計算の特殊関数によって生成される不変部分空間が得られた。