[論文レビュー] Analytic Subordination for Free Compression

Stephen Curran|ArXiv.org|Mar 31, 2008

Advanced Numerical Analysis Techniques被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、自由確率論における自由圧縮の解析的劣微分を、自由差分商コアルゲブラ枠組みを用いて確立する。resolvent が $ B $-値条件付き期待値を通じて元の変数の resolvent に解析的に劣微分されることを証明し、Voiculescu の劣微分結果を任意のトレース $ \tau(p) = t^{-1} $ を持つ射影による自由圧縮の場合に拡張する。

ABSTRACT

We extend the free difference quotient coalgebra approach to analytic subordination to the case of a free compression in free probability.

研究の動機と目的

• 自己共役確率変数がそれと自由な射影によって圧縮される場合の自由確率論における解析的劣微分原理を拡張すること。
• 圧縮された作用素の resolvent が $ B $-値設定において元の作用素の resolvent に解析的に劣微分されることを確立すること。
• 自由加法的コーショフ半群の連続的版への一般化を、$ B $-値コアルゲブラ準同型のアプローチを用いて行うこと。
• 従来の劣微分証明で要請されていた一般性および共役変数条件を、半円分布摂動を用いた極限議論によって排除すること。
• von ニューマン代数における圧縮作用素を扱うために、自由差分商コアルゲブラ法の $ B $-値拡張を提供すること。

提案手法

• 作用素代数 $ B\langle X\rangle $ 上の自由差分商コアルゲブラ構造を用い、$ \partial_{X:B} $ は $ \partial_{X:B}(X) = 1\otimes 1 $ を満たすコアソシエイティブな導分である。
• 導分のコア表現理論を適用：$ \partial a_{ij} = \sum_k a_{ik} \otimes a_{kj} $ を満たす可逆な $ n\times n $ 行列は、$ n_{ij} \in \ker \partial $ を満たす形の行列 $ (n_{ij} - X\delta_{ij}) $ の逆行列である。
• $ S $ を $ B\langle X,p\rangle $ と自由な $ (0,1) $-半円分布要素とし、摂動 $ X + \epsilon S $ を導入することで、共役変数の2次モーメントが有限になるように保証する。
• $ \partial_{X+\epsilon S:B} $ が閉じており、$ \mathscr{J}(X+\epsilon S:B) \in L^2 $ であるという事実を用い、[Voi00] のコアルゲブラ準同型結果を適用可能にする。
• 圧縮作用素 $ X_p = \alpha^{-1}pXp $ の resolvent に $ B $-値条件付き期待値 $ E_{\mathfrak{M}_n(B\langle X\rangle)}^{\mathfrak{M}_n(M)} $ を適用する。ここで $ \alpha = \tau(p) $ である。
• 極限 $ \epsilon \to 0 $ における resolvent のノルム収束を確立し、subordination 関数 $ \Phi_n(\beta) $ が存在し、上半平面 $ \mathbb{H}_+(\mathfrak{M}_n(B)) $ に値をとることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 自己共役確率変数がそれと自由な射影によって圧縮される場合に、解析的劣微分を確立できるか？
• RQ2 圧縮された resolvent の $ B $-値条件付き期待値は、元の resolvent に対して劣微分関係を満たすか？
• RQ3 圧縮構成を用いて、連続的自由加法的コーショフ半群 $ \mu_t $（ここで $ \mu_1 = \mu $）への劣微分結果の拡張は可能か？
• RQ4 共役変数条件を排除した場合に、劣微分関数が正則でかつ上半平面に値をとるか？
• RQ5 自由差分商コアルゲブラ枠組みを用いて、$ \|\mathscr{J}(X:B)\|_2 < \infty $ を仮定しないで劣微分を証明できるか？

主な発見

• トレース $ \tau(p) = \alpha^{-1} $ を持つ射影 $ p $ に対して、圧縮作用素 $ X_p = \alpha^{-1}pXp $ は、ある $ \eta \in \mathbb{H}_+(\mathfrak{M}_n(B)) $ を用いて、$ \alpha^{-1}E_{\mathfrak{M}_n(B\langle X\rangle)}^{\mathfrak{M}_n(M)}(X_p \otimes I_n - \beta(p \otimes I_n))^{-1} = (X \otimes I_n - \eta)^{-1} $ を満たす。
• 劣微分関数 $ \Phi_n: \Delta_+\mathfrak{M}_n(B) \to \Delta_+\mathfrak{M}_n(B) $ は正則であり、すべての $ \beta \in \Delta_+\mathfrak{M}_n(B) $ に対して $ \alpha^{-1}E_{\mathfrak{M}_n(B\langle X\rangle)}^{\mathfrak{M}_n(M)}(X_p \otimes I_n - \beta(p \otimes I_n))^{-1} = (X \otimes I_n - \Phi_n(\beta))^{-1} $ を満たす。
• 極限 $ \epsilon \to 0 $ における resolvent のノルム収束により、劣微分関数 $ \Phi_n(\beta) $ が $ \Delta_+\mathfrak{M}_n(B) $ 上で正則かつ適切に定義されていることが保証される。
• 半円分布摂動を用いた極限議論により、共役変数条件 $ \|\mathscr{J}(X:B)\|_2 < \infty $ の必要性が排除される。
• 結果は Voiculescu の劣微分を $ B $-値設定に一般化し、$ \mu_t $ が $ (pMp, t\tau|_{pMp}) $ における $ tpXp $ の分布であるような連続的自由加法的コーショフ半群 $ \mu_t $ に適用可能である。
• 劣微分はすべての $ \beta \in \mathbb{H}_+(\mathfrak{M}_n(B)) $ に対して成り立ち、極限下でも劣微分関数の正則性が保たれる。