[論文レビュー] Analytic Torsion for Quaternionic manifolds and related topics

Naichung Conan Leung, Sangkug Yi|ArXiv.org|Oct 21, 1997

Algebraic and Geometric Analysis参考文献 5被引用数 9

ひとこと要約

本稿では、偶数次元のCalabi-Yau多様体に対して解析的 torsion が自明であることを確立し、四元数多様体に対しては四元数的解析的 torsion と呼ばれる新しい不変量を導入し、その計量依存性のなさを証明している。4次元では、これは自己双対的解析的 torsion に一致し、より高次元では、自己双対的解析的 torsion が共形不変量であることが示されている。

ABSTRACT

In this paper we show that the Ray-Singer complex analytic torsion is trivial for even dimensional Calabi-Yau manifolds. Then we define the quaternionic analytic torsion for quaternionic manifolds and prove that they are metric independent. In dimension four, the quaternionic analytic torsion equals to the self-dual analytic torsion. For higher dimensional manifolds, the self-dual analytic torsion is a conformal invariant.

研究の動機と目的

• 偶数次元におけるCalabi-Yau多様体上の解析的 torsion の振る舞いを調査すること。
• 四元数多様体に対して、四元数的解析的 torsion と呼ばれる新しい不変量を定義すること。
• 四元数的解析的 torsion が計量に依存しないことを確立すること。
• 4次元において、四元数的解析的 torsion と自己双対的解析的 torsion の関係を明らかにすること。
• 高次元多様体における自己双対的解析的 torsion が共形不変量であるかを調査すること。

提案手法

• 偶数次元のCalabi-Yau多様体に対して、Ray-Singerの複素解析的 torsion が消えることを計算して示した。
• 四元数構造と関連する微分形式を用いて、四元数多様体に対する解析的 torsion の新しい定義を導入した。
• 四元数形式上のラプラシアンのスペクトル理論と性質を用いて、四元数的解析的 torsion が計量に依存しないことを証明した。
• 4次元では、ホッジ分解を用いて、四元数的解析的 torsion が解析的 torsion の自己双対成分と明示的に関係づけられた。
• より高次元の多様体に対しては、計量の共形変換の下での自己双対的解析的 torsion の性質を分析し、その不変性を確立した。
• 複素幾何学、ホッジ理論、インデックス理論の理論的道具を用いて、不変性の性質を導出した。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 偶数次元のCalabi-Yau多様体に対して、Ray-Singerの解析的 torsion は自明か？
• RQ2 四元数多様体に対して、計量に依存しない well-defined な解析的 torsion を構成できるか？
• RQ3 4次元において、四元数的解析的 torsion と自己双対的解析的 torsion はどのように関係するか？
• RQ4 4次元を超える次元において、自己双対的解析的 torsion は計量の共形変更に対して不変か？
• RQ5 四元数的解析的 torsion が捉える幾何的または位相的不変量は何か？

主な発見

• 偶数次元のCalabi-Yau多様体に対して、Ray-Singerの複素解析的 torsion は消える。
• 四元数的解析的 torsion は適切に定義されており、多様体上の計量に依存しない。
• 4次元では、四元数的解析的 torsion は正確に自己双対的解析的 torsion に一致する。
• 4次元を超える多様体に対しては、自己双対的解析的 torsion は計量の共形スケーリングに対して不変である。
• 四元数的解析的 torsion の構成は、四元数構造を持つ多様体への解析的 torsion の概念の拡張を実現している。
• 本研究の結果により、解析的 torsion を通じて高次元リーマン幾何学に新たな共形不変量が確立された。