[論文レビュー] Analytical computation of the Mercury perihelion precession via the relativistic gravitational law and comparison with general relativity

A. S. Fokas, C.G. Vayenas+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 5, 2015

Cosmology and Gravitation Theories参考文献 11被引用数 11

ひとこと要約

この論文は、静止質量の代わりに重力的質量を用いた相対論的重力法則を提案し、$ F = GMm\gamma^6/r^2 $ を導出し、その形式が水星の軌道について一般相対性理論と同一の軌道的軌跡 $ r(\varphi) $ および近日点移行角 $ \Delta\varphi $ を与えることを示している。主な結果は、軌道および近日点移行の主要項が完全に一致しており、完全な一般相対性理論を用いずに、相対論的効果を古典的枠組みで再現可能であることを示唆している。

ABSTRACT

Let $r(φ)$ denote the orbit of Mercury. We compare the formulae obtained via general relativity for $r(φ)$ and for the corresponding perihelion precession angle $Δφ$, with the formulae obtained via the relativistic gravitational law, $F=GMmγ^6/r^2$. The latter law can be derived from Newton's gravitational law by employing the gravitational rather than the rest masses of the Sun and Mercury. Remarkably, it is found that the two expressions for the dominant part of $r(φ)$ are identical and that the two expressions for $Δφ$ are also identical.

研究の動機と目的

• 重力的質量を静止質量の代わりに用いた修正ニュートン重力法則が、相対論的軌道的効果を再現できるかどうかを調査すること。
• 相対論的重力法則 $ F = GMm\gamma^6/r^2 $ における水星の軌道の解析的解を一般相対性理論の解と比較すること。
• 相対論的重力法則から導かれる近日点移行角 $ \Delta\varphi $ が、一般相対性理論の予測と一致するかどうかを特定すること。
• 相対論的条件下におけるニュートン力学の重力的質量を静止質量または相対論的質量の代わりに用いることの物理的意味を検討すること。

提案手法

• 慣性質量が $ m_i = \gamma^3 m_o $ で与えられることと、重力的質量と慣性質量の等価性を用いて、相対論的重力力 $ F = GMm\gamma^6/r^2 $ を導出する。
• 相対論的重力法則を2体問題に適用し、微小パラメータ $ \varepsilon $ における摂動論的手法を用いて軌道方程式 $ r(\varphi) $ を導出する。
• 有効ポテンシャル法を用いて軌道を分析し、径方向座標 $ r $ を $ \varepsilon $ のべき級数に展開して、主要な近日点移行項を抽出する。
• 相対論的重力法則から得られる近日点移行角 $ \Delta\varphi $ を、一般相対性理論の標準的結果 $ \Delta\varphi = 6\pi GM/(p c^2) $ と比較する。
• 一般相対性理論と相対論的重力法則の両方の式を数値積分して、解析的結果を検証する。
• 漸近的展開技術を用いて、近日点シフトを支配する主要な移行項 $ U_D = \frac{3}{2}\varepsilon \varphi \sin\varphi $ を分離する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 静止質量ではなく重力的質量に基づく相対論的重力法則が、一般相対性理論が予測する水星の近日点移行を再現できるか？
• RQ2 $ \gamma^6 $-修正ニュートン力学から導かれる軌道的軌跡 $ r(\varphi) $ の主要項が、一般相対性理論のそれと同一であるか？
• RQ3 相対論的重力法則を用いて計算された近日点移行角 $ \Delta\varphi $ と一般相対性理論の予測との関係は何か？
• RQ4 重力的力における $ \gamma^6 $-依存性が、特殊相対性理論と等価原理から一貫して導けるか？

主な発見

• 相対論的重力法則 $ F = GMm\gamma^6/r^2 $ から導かれる軌道解 $ r(\varphi) $ の主要項は、一般相対性理論の解の主要項と完全に同一である。
• 相対論的重力法則を用いて計算された近日点移行角 $ \Delta\varphi $ は、一般相対性理論の予測 $ \Delta\varphi = 6\pi GM/(p c^2) $ と、主要項において正確に一致する。
• 解析的展開により、両形式において主要な移行項 $ U_D = \frac{3}{2}\varepsilon \varphi \sin\varphi $ が同一であることが示され、移行メカニズムの一致が確認された。
• 一般相対性理論と相対論的重力法則の両方の式を数値積分した結果、$ \varepsilon $ が小さい範囲では互いに区別できない軌道が得られ、解析的結果の妥当性が裏付けられた。
• 両形式間の角運動量比 $ J/\widetilde{J} $ は $ 1 + O(\varepsilon, \widetilde{\varepsilon}) $ に等しく、動的変数の整合性が確認された。
• この結果は、重力的力における $ \gamma^6 $-依存性が、少なくとも摂動パラメータの主要項において、完全な一般相対性理論と同一の相対論的軌道的効果をもたらすことを示唆している。