[論文レビュー] Analytical continuum mechanics à la Hamilton-Piola: least action principle for second gradient continua and capillary fluids

Nicolas Auffray, Francesco dell’Isola+3 more|arXiv (Cornell University)|May 29, 2013

Nonlocal and gradient elasticity in micro/nano structures参考文献 147被引用数 173

ひとこと要約

本稿は、物質記述を用いて、第二勾配連続体および界面流体に対する最小作用の原理を定式化し、ラグランジアン作用関数からオイラー＝ラグランジュ方程式および境界条件を導出する。第二変形勾配に依存するエネルギーを持つ材料の変分的枠組みを確立し、既知の界面流体の運動方程式を回復し、一般化されたベルヌーイの法則を導出する。ハミルトン＝ポイア形式を用いた解析的連続体力学分野における主な貢献。

ABSTRACT

In this paper a stationary action principle is proven to hold for capillary fluids, i.e. fluids for which the deformation energy has the form suggested, starting from molecular arguments, for instance by Cahn and Hilliard. Remark that these fluids are sometimes also called Korteweg-de Vries or Cahn-Allen. In general continua whose deformation energy depend on the second gradient of placement are called second gradient (or Piola-Toupin or Mindlin or Green-Rivlin or Germain or second gradient) continua. In the present paper, a material description for second gradient continua is formulated. A Lagrangian action is introduced in both material and spatial description and the corresponding Euler-Lagrange bulk and boundary conditions are found. These conditions are formulated in terms of an objective deformation energy volume density in two cases: when this energy is assumed to depend on either C and grad C or on C^-1 and grad C^-1 ; where C is the Cauchy-Green deformation tensor. When particularized to energies which characterize fluid materials, the capillary fluid evolution conditions (see e.g. Casal or Seppecher for an alternative deduction based on thermodynamic arguments) are recovered. A version of Bernoulli law valid for capillary fluids is found and, in the Appendix B, useful kinematic formulas for the present variational formulation are proposed. Historical comments about Gabrio Piola's contribution to continuum analytical mechanics are also presented. In this context the reader is also referred to Capecchi and Ruta.

研究の動機と目的

• 第二勾配連続体に対する静止作用の原理を確立し、古典的定式化を超えた解析的連続体力学を拡張すること。
• 第二勾配材料に対して、物質的記述および空間的記述の両方における一貫性のあるオイラー＝ラグランジュ方程式および境界条件を導出すること。
• 熱力学的仮定を避け、既知の界面流体の進化法則（例：キャーン＝ヒリャール型）を変分原理から回復すること。
• 導出された変分枠組みを用いて、界面流体に対する一般化されたベルヌーイの法則を導出すること。
• 物体的変形エネルギー密度を用いて、第二勾配材料の包括的な運動学的および変分的基盤を提供すること。

提案手法

• 物質的および空間的配置におけるラグランジアン作用を導入し、主にコーシー＝グリーンテンソル $ C $ およびその勾配 $ \nabla C $ を主要変数として用いる。
• 変形場に関する作用関数の変分を用いて、オイラー＝ラグランジュ方程式および境界条件を導出する。
• 変形エネルギーを $ C $ および $ \nabla C $ に依存する形、または $ C^{-1} $ および $ \nabla C^{-1} $ に依存する形の両方を検討し、物体的性を保証する。
• 変分原理を流体的性質を持つ材料に適用し、従来の熱力学的導出と整合する界面流体の進化方程式を回復する。
• 微分幾何的恒等式およびテンソル計算を用い、$ C_{MN,O} $ および $ C_{MN,O}^{-1} $ の変形勾配 $ F_{P,Q}^i $ に関する導関数を含む、高度な運動学的恒等式を導出し、場の運動方程式を導出する。
• 埋め込まれたリーマン多様体上でのガウス発散定理を用いて、変分形式における境界積分を処理する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 第二勾整連続体に対して、解析力学の原則と整合する最小作用の原理を定式化できるか？
• RQ2 変分的アプローチを用いて、第二勾配材料のオイラー＝ラグランジュ方程式および境界条件をどのように導出できるか？
• RQ3 提案された変分枠組みは、キャーン＝ヒリャール型やコルトウェーグ＝ド・ブリーズ型など、既知の界面流体の進化法則を回復できるか？
• RQ4 この変分枠組み内で、界面流体に対する一般化されたベルヌーイの法則を導出できるか？
• RQ5 変分形式に必要な第二勾配不変量の変形勾配 $ F_{P,Q}^i $ に関する正しい運動学的導関数は何か？

主な発見

• 第二勾整連続体に対して、物質的記述および空間的記述の両方で一貫性のある最小作用の原理が、ラグランジュ形式を用いて確立された。
• 変形エネルギーが第二勾配に依存する場合、導出されたオイラー＝ラグランジュ方程式および境界条件が界面流体のそれらと等価であることが示された。
• 界面流体の一般化されたベルヌーイの法則が、直接的に変分原理から導出され、古典的流体力学が拡張された。
• $ C_{MN,O} $ および $ C_{MN,O}^{-1} $ の変形勾配 $ F_{P,Q}^i $ に関する導関数に対する運動学的恒等式が明示的に計算され、導出に使用された。
• この定式化は物体的であり、剛体運動に対して不変であるため、物理的整合性が保証された。
• 熱力学的仮定に依存せず、従来の熱力学的議論（例：セッペッチャーらの結果）から得られた結果を再現でき、変分法の強力さを示した。