[論文レビュー] Analytical description of Recurrence Plots of white noise and chaotic processes

Marko Thiel, M. Carmen Romano+1 more|ArXiv.org|Jan 22, 2003

Chaos control and synchronization被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、白色ノイズおよびカオス的システムに対する再帰図（RPs）の解析的記述を提供し、RPsにおける対角線の分布と相関エントロピーの関連を明らかにするとともに、カオス的流れにおける2つの明確なスケーリング領域の存在を特定している（Grassberger-Procacciaアルゴリズムとは異なり）。RPsを用いて、相関次元、相関エントロピー、相互情報量といった動的特性の不変推定器を提案し、従来の手法に比べて計算コストが低く、ノイズやノルム選択に対してより頑健な代替手法を提供している。

ABSTRACT

We present an analytical description of the distribution of diagonal lines in Recurrence Plots (RPs) for white noise and chaotic systems, and find that the latter one is linked to the correlation entropy. Further we identify two scaling regions in the distribution of diagonals for oscillatory chaotic systems that are hinged to two prediction horizons and to the geometry of the attractor. These scaling regions cannot be observed with the Grassberger-Procaccia algorithm. Finally, we propose methods to estimate dynamical invariants from RPs.

研究の動機と目的

• 白色ノイズおよびカオス的システムに対する再帰図（RPs）における対角線の分布を解析的に記述すること。
• RPsにおける対角線の分布とリャプノフ指数ではなく相関エントロピーとの関連を確立すること。
• カオス的流れにおける対角線の分布に現れる2つの明確なスケーリング領域を特定し、アトラクタの幾何構造と予測限界と関連付けること。
• RPsに基づく、相関次元、相関エントロピー、相互情報量といった動的不変量の新しい不変推定器を提案すること。
• RP法が、特に計算効率とノイズおよびノルム選択に対する頑健性において、Grassberger-Procacciaアルゴリズムを上回ることを示すこと。

提案手法

• 白色ノイズに対して、確率密度関数の畳み込みと独立点統計を用いて、対角線長の累積分布 $ P^{c}_{\nu}(l) $ を解析的に導出する。
• 白色ノイズの場合、$ P^{c}_{\nu}(l) = P_b(\nu)^l $ が成り立ち、$ P_b(\nu) $ は一様分布および正規分布に対して明示的に導出可能であることを示す。
• 再帰行列 $ \mathbf{R}_{i,j} = \Theta(\nu - |\vec{x}_i - \vec{x}_j|) $ を用いて、カオス的システムへの解析を拡張し、$ P^{c}_{\nu}(l) $ を2次リーマンエントロピーおよび相関エントロピーと関連付ける。
• 相関次元 $ \hat{D}_2(\nu) $、相関エントロピー $ \hat{K}_2 $、相互情報量 $ \hat{I}_2(\tau) $ の推定器を提案し、これらはすべて $ P^{c}_{\nu}(l) $ および再帰行列統計に基づく。
• 再帰行列を用いて、$ \hat{H}_2 = -\ln\left( \frac{1}{N^2} \sum_{i,j} \mathbf{R}_{i,j} \right) $ および $ \hat{H}_2(\tau) = -\ln\left( \frac{1}{N^2} \sum_{i,j} \mathbf{R}_{i,j} \mathbf{R}_{i+\tau,j+\tau} \right) $ を用いて同時エントロピーと周辺エントロピーを推定する。
• RPに基づく推定器とGrassberger-Procacciaアルゴリズムの推定器を比較し、RPベースの推定値がノルム選択に対して感受性が低く、異なるノルムでも一貫した結果を示すことを示した。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 白色ノイズ過程における再帰図（RPs）の対角線の分布は、解析的にどのように振る舞うか？
• RQ2 カオス的システムにおけるRPsの対角線の分布と相関エントロピーとの間には、どのような解析的関係が存在するか？
• RQ3 カオス的流れにおける対角線長の分布に2つの明確なスケーリング領域が現れる理由は何か？また、それらはどのような動的または幾何的意味を持つのか？
• RQ4 RPに基づく動的不変量推定器は、Grassberger-Procacciaアルゴリズムの推定器と比較して、頑健性および正確性の面でどのように異なるか？
• RQ5 再帰図を用いて、ノルム選択に依存せず、ノイズに強く、相関次元、相関エントロピー、相互情報量といった不変量を推定することが可能か？

主な発見

• 白色ノイズでは、対角線長の累積分布が $ P^{c}_{\nu}(l) = P_b(\nu)^l $ に従い、$ P_b(\nu) $ は一様分布および正規分布に対して解析的に導出可能である。
• カオス的システムでは、分布 $ P^{c}_{\nu}(l) $ がリャプノフ指数ではなく2次リーマンエントロピー（相関エントロピー）と関連していることが判明した。
• 対数スケールの $ P^{c}_{\nu}(l) $ 図において、2つの明確なスケーリング領域が現れ、それらは異なる予測限界とアトラクタの幾何構造に対応しており、Grassberger-Procacciaアルゴリズムには見られない特徴である。
• Rösslerアトラクタに対して、RPベースの相関次元推定器 $ \hat{D}_2(\nu) $ は $ 1.86 \pm 0.04 $ を得ており、Grassberger-Procacciaアルゴリズムの結果（$ 1.81 $ から $ 1.89 $）と整合的である。
• RPベースの相互情報量推定器は、Grassberger-Procaccia推定値より約0.2大きくなる傾向にあり、曲線の形状は概ね類似しているが、両手法で最大ノルムを使用した場合にはこの差は消える。
• 提案された相関エントロピー、次元、相互情報量の推定器は、RPsを用いる限りノルム選択に依存せず不変であるのに対し、Grassberger-Procaccia法はノルム選択に感受性を示す。