[論文レビュー] Analytical Determination of the Attack Transient in a Clarinet With Time-Varying Blowing Pressure

André Almeida, Baptiste Bergeot+2 more|arXiv (Cornell University)|Oct 16, 2015

Music Technology and Sound Studies参考文献 6被引用数 1

ひとこと要約

本稿は、時間変化する吹き込み圧力を持つクラリネットのアタックトランジェントにおける音の振幅エンベロープを、損失のないラーマンモデルを用いて解析的に決定する。動的分岐理論を適用し、動的閾値を超えると振動が指数関数的に増大することを予測し、ノイズや有限精度の遅延が発生の開始を遅らせることが示され、急激な圧力上昇の停止が振動増大を加速することも示している。主な貢献は、圧力変化パラメータに基づく閉形式の解析的レシピを提供することにある。

ABSTRACT

This article uses a basic model of a reed instrument , known as the lossless Raman model, to determine analytically the envelope of the sound produced by the clarinet when the mouth pressure is increased gradually to start a note from silence. Using results from dynamic bifur-cation theory, a prediction of the amplitude of the sound as a function of time is given based on a few parameters quantifying the time evolution of mouth pressure. As in previous uses of this model, the predictions are expected to be qualitatively consistent with simulations using the Raman model, and observations of real instruments. Model simulations for slowly variable parameters require very high precisions of computation. Similarly, any real system, even if close to the model would be affected by noise. In order to describe the influence of noise, a modified model is developed that includes a stochastic variation of the parameters. Both ideal and stochastic models are shown to attain a minimal amplitude at the static oscillation threshold. Beyond this point, the amplitude of the oscillations increases exponentially, although some time is required before the oscillations can be observed at the '' dynamic oscillation threshold ''. The effect of a sudden interruption of the growth of the mouth pressure is also studied, showing that it usually triggers a faster growth of the oscillations.

研究の動機と目的

• 吹き込み圧力が徐々に増加する際のクラリネットのアタックフェーズにおける音の振幅エンベロープを解析的に記述すること。
• 従来の動的振動閾値に関する研究を拡張し、閾値通過前後における振動振幅の完全な変化を含めること。
• 有限の計算精度とノイズがラーマンモデルにおける振動発生の開始に与える影響を調査すること。
• 吹き込み圧力上昇率の急停止が、音の振幅増大に与える影響をモデル化すること。
• 圧力変化パラメータおよびζなどのシステムパラメータに基づいて、アタックエンベロープを予測する閉形式の解析的レシピを提供すること。

提案手法

• リードの挙動をモデル化する非線形関数F(p)を介して結びつけられた次元なし圧力pと流量uを持つ損失のないラーマンモデルを用いる。
• 動的分岐理論を適用し、圧力上昇率ϵの摂動級数として不変曲線φϵ(γ)を導出する。
• 静的閾値γstの近傍で2次テイラー展開を用いて近似する、積分˜I(γ)を通じて振幅エンベロープを導出する。
• ノイズ効果をモデル化するため、圧力パラメータにウィーナー過程を追加することで確率的モデルを導入する。
• 確率的モデルにおける振幅増大率を支配する積分B(γ)を、誤差関数を用いて解析的に近似する。
• さまざまな圧力上昇プロファイル下でのラーマンモデルの数値シミュレーションと比較することで、解析結果の妥当性を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 吹き込み圧力が線形に増加する場合、アタックトランジェント中の振動振幅はどのように変化するか？
• RQ2 圧力上昇率と振動発生の動的閾値との間には、どのような解析的関係があるか？
• RQ3 有限精度およびノイズは、理論的静的閾値と比較して、観測される振動発生にどのような影響を与えるか？
• RQ4 吹き込み圧力上昇率の急停止が、その後の振動振幅増大に与える影響は何か？
• RQ5 圧力の時間的変化に基づいて、アタックエンベロープの閉形式の解析的表現を導出できるか？

主な発見

• 動的閾値を超えた後、振動の振幅は指数関数的に増大し、増大率は圧力上昇率とシステムパラメータζに依存する。
• システムが増加する圧力に適応するのに要する時間のため、振動発生の動的閾値は静的閾値よりも遅れて現れる。
• ノイズや有限精度は、理想モデルが予測するよりも高い圧力で、振動の有効な発生が生じることを示しており、数値シミュレーションと整合的である。
• 圧力上昇率の急停止は、連続的な圧力上昇による安定化効果が失われるため、振動振幅の上昇が速くなる。
• 摂動理論と誤差関数を用いて導出された振幅エンベロープの解析的表現は、圧力変化パラメータに基づくアタックトランジェントの定量的予測レシピを提供する。
• γst近傍における˜I(γ)の2次近似は、˜I(γ) ≈ (3√3 ζ / 2)(γ − γst)²として得られ、最終的なエンベロープ式を導出する上で極めて重要である。