[論文レビュー] Analytical Methods and Field Theory for Disordered Systems

Thimothée Thiery|arXiv (Cornell University)|May 21, 2017

Random Matrices and Applications参考文献 200被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、無秩序な弾性系の avalanche 動的現象と指向的高分子における正確可解性を研究するための解析的場理論的手法を開発する。関数的走行平均化群（FRG）とベーテアンツァツ法を用いて、普遍的なスケーリング則を確立し、Log-Gamma 型および逆ベータ型モデルを含む KPZ普遍性クラスにおける新しい正確可解モデルを同定する。これらのモデルは、明示的な定常測度と有限温度における非普遍的挙動を示す。

ABSTRACT

This thesis presents several aspects of the physics of disordered elastic systems and of the analytical methods used for their study. On one hand we will be interested in universal properties of avalanche processes in the statics and dynamics (at the depinning transition) of elastic interfaces of arbitrary dimension in disordered media at zero temperature. To study these questions we will use the functional renormalization group. After a review of these aspects we will more particularly present the results obtained during the thesis on (i) the spatial structure of avalanches and (ii) the correlations between avalanches. On the other hand we will be interested in static properties of directed polymers in $1+1$ dimension, and in particular in observables related to the KPZ universality class. In this context the study of exactly solvable models has recently led to important progress. After a review of these aspects we will be more particularly interested in exactly solvable models of directed polymer on the square lattice and present the results obtained during the thesis in this direction: (i) classification of Bethe ansatz exactly solvable models of directed polymer at finite temperature on the square lattice; (ii) KPZ universality for the Log-Gamma and Inverse-Beta models; (iii) KPZ universality and non-universality for the Beta model; (iv) stationary measures of the Inverse-Beta model and of related zero temperature models.

研究の動機と目的

• 零温度およびデピンニング転移における弾性界面の avalanche プロセスの普遍的スケーリング性を理解すること。
• 関数的走行平均化群（FRG）技術を用いて、無秩序な弾性系における avalanche の空間的構造と相関を分析すること。
• 有限温度における正方形格子上に配置された指向的高分子の正確可解モデルを分類すること。
• Log-Gamma 型および逆ベータ型高分子などの特定モデルにおける KPZ 普遍性を確立すること。
• ベータモデルにおける正確可解性と普遍性の相互作用を調査し、両方の普遍的および非普遍的挙動を明らかにすること。

提案手法

• 関数的走行平均化群（FRG）を用いて、零温度における無秩序な弾性界面の静的および動的性質を研究すること。
• FRG を用いて、デピンニング転移における avalanche 動的現象、特に相関関係と空間的構造を分析すること。
• 短距離的弾性を持つ正方形格子上における指向的高分子のベーテアンツァツ可解モデルを分類すること。
• 代数的可積分性と定常測度技術を用いて、連続的指向的高分子モデルの正確解を求める。
• 正確可解性とフレドホルム行列式法を用いて、普遍的スケーリング極限および有限サイズ補正を導出すること。
• 有限温度における結果と KPZ 固定点予測を比較することで、ベータモデルにおける非普遍的挙動を分析すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 無秩序な弾性界面における avalanche の空間的構造と相関を支配する普遍的スケーリング則は何か？
• RQ2 関数的走行平均化群手法は、弾性系におけるデピンニング転移および avalanche 動的現象をどのように記述できるか？
• RQ3 正方形格子上におけるどの指向的高分子モデルが有限温度においてベーテアンツァツ法で正確に解けるか？
• RQ4 Log-Gamma 型および逆ベータ型モデルは、そのスケーリング極限においてどれほど KPZ 普遍性を示すか？
• RQ5 逆ベータ型モデルにおける定常測度の性質は何か？また、零温度モデルおよび KPZ 普遍性とどのように関係するか？

主な発見

• FRG アプローチは、デピンニング転移における弾性界面の avalanche サイズおよび空間的相関の普遍的スケーリングを的確に捉えている。
• avalanche の空間的構造は自己同様性を示し、理論的予測と整合的な普遍的フラクタル次元を持つことが判明した。
• Log-Gamma 型および逆ベータ型モデルは、ベーテアンツァツ法により正確に解けることが同定され、自由エネルギーおよび相関関数の正確な計算が可能となった。
• Exact scaling limits が KPZ 固定点と一致することにより、Log-Gamma 型および逆ベータ型モデルにおける KPZ 普遍性クラスが確認された。
• ベータモデルは普遍的および非普遍的挙動を併せ持つ：自由エネルギー分布の尾部はトレイシー・ウィドム GUE 分布と一致するが、有限サイズ補正は普遍性から逸脱する。
• 逆ベータ型モデルの定常測度が正確に導出され、有限温度モデルと零温度界面モデルとの間の橋渡しを可能にした。