[論文レビュー] Analytical solution for free vibrations of simply supported transversally inextensible homogeneous rectangular plate

Milan Batista|arXiv (Cornell University)|Jul 15, 2010

Composite Structure Analysis and Optimization参考文献 4被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、3次元弾性理論を用いて、単純支持、横方向に伸びない、均質な長方形板の自由振動について、正確な解析解を提示する。正弦波状の荷重および伸びない制約の下で平衡方程式を解くことにより、変位および応力成分の閉形式表現が導かれる。薄板に対する漸近展開も併記される。主な貢献は、ミンズリン理論や高次板理論における中心的仮定である横方向不変性の下でのベンチマーク解の提供である。

ABSTRACT

In article, the exact solution of sinusoidal loaded simply supported elastic transversally inextensible rectangular plate is given. The expressions for displacement and stress components are derived and asymptotic expansion with respect to plate thickness are present. The frequency factors for plate thickness to width ratio 0.01, 0.1, 0.2 and 0.4 and various ratios of plate length to width are given.

研究の動機と目的

• 単純支持、横方向に伸びない長方形板の自由振動に対する正確な3次元解析解を提供すること。
• ミンズリン理論や高次板理論に共通する重要な仮定である横方向不変性の下での正確なベンチマーク解の欠落を埋める。
• 板理論を正確な解と直接比較可能にすることで、その精度の評価を向上させること。
• さまざまな厚さ比および幅比に対する振動数係数を導出し、数値的および近似的手法の検証を支援すること。

提案手法

• 横方向不変性（w_z = 0）を考慮した3次元弾性方程式を用いて問題を定式化する。
• 時間調和的依存性を仮定し、変位および応力成分に二重フーリエ級数展開を適用する。
• 軸方向および横方向変位関数U(z)およびV(z)について、常微分方程式系を導出する。
• 双曲線関数を用いて方程式系を解き、正規化座標ζ = z/h ∈ [-1,1]を導入する。
• 単純支持端および板の表面における境界条件を適用し、未知係数に関する斉次系を導出する。
• 固有方程式と非自明解を得るために行列式条件を用い、振動数係数および応力・変位の式を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 正弦波状荷重下における、単純支持、横方向に伸びない長方形板の自由振動に対する正確な3次元解は何か？
• RQ2 変位および応力成分は、板の厚さ方向および板面内においてどのように変化するか？
• RQ3 さまざまな板のアスペクト比および厚さ対幅比に対する振動数係数は何か？
• RQ4 薄板に対する漸近展開は、リッサーナーの古典的近似とどのように一致するか？
• RQ5 この正確な解は、板理論の精度評価のためのベンチマークとして、どの程度有効に利用できるか？

主な発見

• 境界条件に基づく固有方程式を用いて、双曲線関数を用いた正確な解析解が、変位および応力成分について導出された。
• 厚さ対幅比0.01, 0.1, 0.2, 0.4およびさまざまな長さ対幅比に対して振動数係数が計算され、包括的なベンチマークが提供された。
• h/a = 0.4、ν = 0.3の正方形板において、1次モードの振動数係数は1.3994であり、FOPTでは相対誤差0.17%、HOPTでは0.01%であった。
• 薄板に対する漸近展開は、応力成分に関してリッサーナーの古典的近似を回復し、高次理論におけるその有用性を裏付けた。
• この解は、高次板理論（HOPT）が、特に高次モードにおいて、一次板理論（FOPT）よりも顕著に優れた精度を示すことを確認した。
• 応力合力および横せん断力の導出式は、古典板理論の定式化と整合しており、直接的な比較が可能である。