[論文レビュー] Analytical Solutions of the Quantum Hamilton-Jacobi Equation and Exact WKB-Like Representations of One-Dimensional Wave Functions

M. Fusco Girard|arXiv (Cornell University)|Dec 4, 2015

Quantum Mechanics and Non-Hermitian Physics被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、1次元系における量子ハミルトニアン＝ジャコビ方程式（QHJE）の解析的解を提示し、量子波動関数の正確なWKBに類似した表現を導出する。QHJEはリッカティ方程式の技法を用いて解かれ、量子運動量関数および量子作用関数が複素数かつ連続的であることが特定され、$\hbar\to 0$ の極限で滑らかに古典的量に還元される。これにより、量子から古典への移行が明確にされ、シュレーディンガー方程式のみでは得られない正確な波動関数表現が可能になる。

ABSTRACT

General analytical solutions of the Quantum Hamilton Jacobi Equation for conservative one-dimensional or reducible motion are presented and discussed. The quantum Hamilton's characteristic function and its derivative, i.e. the quantum momentum function, are obtained in general, and it is shown that any one-dimensional wave function can be exactly represented in a WKB-like form. The formalism is applied to the harmonic oscillator and to the electron's motion in the hydrogen atom, and the above mentioned functions are computed and discussed for different quantum numbers. It is analyzed how the quantum quantities investigated tend to the corresponding classical ones, in the limit $\hbar o 0$. These results demonstrate that the Quantum Hamilton Jacobi Equation is not only completely equivalent to the Schrödinger Equation, but allows also to fully investigate the transition from quantum to classical mechanics.

研究の動機と目的

• 1次元の保存系に対して、量子ハミルトニアン＝ジャコビ方程式（QHJE）の一般的解析的解を導出すること。
• 古典的許容領域において、連続的かつ複素数のままである古典的ハミルトンの特徴関数および運動量の量子アナロジーを特定すること。
• 量子波動関数が、量子還元作用の実部およびその微分を用いて、WKBに類似した形で正確に表現可能であることを示すこと。
• 滑らか化された量子運動量および作用関数が $\hbar \to 0$ の極限で古典的値に収束することにより、量子から古典への移行を明確にすること。
• QHJEがシュレーディンガー方程式を解かずにエネルギー準位および固有関数を回復できる完全に同等で独立した量子力学の定式化を提供することを確立すること。

提案手法

• リッカティ微分方程式の理論から導かれる一般積分を用いてQHJEを解く。
• 古典的許容領域において、量子運動量関数 $p_{F,G}(x,E)$ および量子還元作用 $W_{G}(x,E)$ の複素数的かつ連続的な解を構築する。
• 古典的極限において、量子運動量の虚部が消え、実部が粗大化処理を経て古典的運動量に収束することを保証する。
• 小さな区間で量子関数を平均化する粗大化手順を適用し、高周波数の振動を除去して古典的挙動を明らかにする。
• 平滑化処理後の量子還元作用の実部が、$\hbar \to 0$ の極限で古典的作用 $W_C(x)$ に収束することを確認し、振幅は減少するが周波数は増加するリップルの発生を観察する。
• 量子運動量関数の虚部が $\hbar$ に比例することを確認し、古典的極限で消えることを保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 1次元系、特に古典的許容領域において、QHJEの一般的解析的解をどのように導出できるか。
• RQ2 古典的許容領域における量子運動量関数の性質は何か。また、$\hbar \to 0$ の極限で古典的運動量とどのように関係するか。
• RQ3 1次元のすべての量子波動関数は、量子還元作用を用いてWKBに類似した形で正確に表現可能か。
• RQ4 量子運動量および作用関数における量子揺らぎは、古典的極限でどのように消えるのか。粗大化処理はその過程でどのような役割を果たすか。
• RQ5 QHJEはどの程度シュレーディンガー方程式と同等であり、エネルギー準位および固有関数を独立に得られるか。

主な発見

• 量子運動量関数 $p_{F,G}(x,E)$ は、古典的許容領域で複素数的かつ連続的であり、その実部は古典的運動量 $p_C(x)$ のまわりを振動し、虚部は $\hbar$ に比例する。
• $\hbar \to 0$ の極限で、量子還元作用 $W_G(x,E)$ の実部には無限個のリップルが発生するが、粗大化処理を経ると古典的作用 $W_C(x)$ に収束する。
• 粗大化処理後の $p_{F,G}(x)$ の実部は古典的運動量 $p_C(x)$ に収束し、量子揺らぎを平滑化することで古典的挙動が回復されることを確認する。
• $p_{F,G}(x)$ の虚部は有限の振幅でゼロのまわりを振動し、古典的極限で消えることが、必要に応じて満たされる。
• 1次元のすべての波動関数は、量子還元作用の実部を位相として、その微分を振幅の調整因子として用いて、WKBに類似した形で正確に表現可能である。
• QHJEは、量子から古典への移行を明確にし、シュレーディンガー方程式を解かずに波動関数を正確に再構成可能である完全に同等で独立した量子力学の定式化を提供する。