[論文レビュー] Analytical Study of the Spin Projection Operator

Zhiqiang Shi|arXiv (Cornell University)|Jan 3, 2011

Matrix Theory and Algorithms参考文献 3被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、相対論的スピン状態とヘリシティ状態のスピン射影演算子を解析的に調査し、$p_z$静止系では形式的に同一であるものの、本質的に異なる性質を示すことを示している。具体的には、スピン状態の射影演算子はローレンツ共変的であるのに対し、ヘリシティ状態の射影演算子は非相対論的である。主な結果は、ミューオン崩壊の計算においてヘリシティ射影演算子を用いることで、左-右の偏光依存の寿命非対称性 $A = \beta$ が現れることであり、これはスピン状態演算子を用いる場合には存在しない。これにより、弱い崩壊において以前に見過ごされていた新たな寿命非対称性が確立される。

ABSTRACT

We present an analytical study of the spin projection operator of the spin state and the helicity state. It is pointed out emphatically that the former is Lorentz covariant, while the latter is a nonrelativistic two-component operator. In the special case of $\bm p=p_z$, the helicity state and the spin state are formally identical. However, even so their spin projection operators are still different and so the helicity state is not a special case of the spin state. This makes the spinor is the degenerate state of the two different spin projection operators. The calculation on the lifetime of polarized muons shows that this difference will inevitably lead to the left-right polarization-dependent lifetime asymmetry.

研究の動機と目的

• 相対論的量子力学におけるスピン状態（ローレンツ共変的）とヘリシティ状態（非相対論的）の間の根本的な概念的・数学的差異を明確化すること。
• 弱い相互作用における chirality、ヘリシティ、スピンの物理的意味に関する長年の混乱を解消すること。
• スピン射影演算子の選択（スピン状態 vs. ヘリシティ状態）が崩壊過程における異なる物理的予測をもたらすことを示すこと。
• 偏光したミューオン崩壊において、以前に見過ごされていた寿命非対称性の存在を確立すること。これはヘリシティ演算子の構造に起因する。

提案手法

• パウリ＝ルバンスキー演算子と四元極化ベクトル $e$ を用いて、相対論的スピン状態のスピン射影演算子を導出し、$\rho_s = \frac{1}{2}(1 \pm i\gamma_5\gamma\cdot e)$ を得る。
• ヘリシティ射影演算子を $\rho_h = \frac{1}{2}(1 \pm \gamma_5\beta)$ として導出し、ここで $\beta = \mathbf{p}/E_p$ である。これにより、非共変的構造が明らかになる。
• 両演算子をミューオン崩壊 $\mu^- \to e^- \bar{\nu}_e \nu_\mu$ の行列要素に適用し、トレース演算を用いて崩壊断面積を計算する。
• ヘリシティ状態の射影演算子を用いて崩壊幅を計算し、$\tau_{\text{Lh}} = \tau / (1 + \beta)$ および $\tau_{\text{Rh}} = \tau / (1 - \beta)$ を得る。
• 寿命非対称性 $A = (\tau_{\text{Rh}} - \tau_{\text{Lh}})/(\tau_{\text{Rh}} + \tau_{\text{Lh}}) = \beta$ を導出する。
• スピン状態演算子との比較により、非対称性がヘリシティ演算子の選択に起因するものであることが証明される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 なぜスピン射影演算子の選択（スピン状態 vs. ヘリシティ状態）がミューオン崩壊の計算において異なる予測をもたらすのか？
• RQ2 ローレンツ共変的スピン状態演算子と非相対論的ヘリシティ演算子の根本的な違いは何か？
• RQ3 ヘリシティ状態の射影演算子は、ミューオン崩壊において偏光依存の寿命非対称性を予測するか？
• RQ4 寿命非対称性 $A = \beta$ はヘリシティ演算子から解析的に導出可能か？また、スピン状態の結果とはどのように異なるか？
• RQ5 この非対称性は、弱い相互作用の素粒子理論的記述、ミューオン衝突加速器の設計、および宇宙線スペクトルにどのような意味を持つのか？

主な発見

• スピン状態射影演算子 $\rho_s = \frac{1}{2}(1 \pm i\gamma_5\gamma\cdot e)$ はローレンツ共変的であるのに対し、ヘリシティ状態演算子 $\rho_h = \frac{1}{2}(1 \pm \gamma_5\beta)$ はそうでないため、根本的な物理的差異が確立される。
• $p_z$ フレームにおいて、スピン状態とヘリシティ状態のスピノル波動関数は形式的に同一であるが、その射影演算子は依然として異なるため、ヘリシティ状態がスピン状態の特殊な場合であるとは言えない。
• ミューオン崩壊においてヘリシティ射影演算子を用いることで、左-右の偏光依存の寿命非対称性 $A = \beta$ が生じる。ここで $\beta = v/c$ である。
• 右偏光ミューオンの寿命は $\tau_{\text{Rh}} = \tau / (1 - \beta)$、左偏光ミューオンの寿命は $\tau_{\text{Lh}} = \tau / (1 + \beta)$ であり、明確な非対称性が示される。
• スピン状態演算子を用いることで対称的な崩壊断面積 $\tau$ が得られ、非対称性は存在しない。これにより、寿命非対称性はヘリシティ演算子の選択に起因するものであることが証明される。
• この結果は、ヘリシティ状態が物理的観測可能量であるのに対し、スピン状態は標準模型の手前の構造に結びついた弱い固有状態であり、ニュートリノのフレーバー状態と質量固有状態の類似であると考えられる。