[論文レビュー] Analytification of mapping stacks

Julian J. Holstein, Mauro Porta|arXiv (Cornell University)|Dec 21, 2018

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 2被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、複素幾何および非アルキメデス的解析幾何において、導来写像スタックの構成が解析化と可換となる条件を確立する。GAGAおよびタンナキアン性質を満たす導来スタックに対して、写像スタックの解析化が、解析化の写像スタックと同値であることを証明し、導来モジュライ理論を解析的設定へと拡張する。

ABSTRACT

Derived mapping stacks are a fundamental source of examples of derived enhancements of classical moduli problems. For instance, they appear naturally in Gromov-Witten theory and in some branches of geometric representation theory. In this paper, we show that in many cases the mapping stacks construction commutes with the (complex or non-archimedean) analytification functor. Along the way, we establish several properties of the stack of analytic perfect complexes and study some incarnations of analytic Tannaka duality.

研究の動機と目的

• 複素幾何および非アルキメデス的解析幾何において、導来写像スタックが解析化と可換となる条件を確立すること。
• プロパーなスタックや再帰的群の分類スタックといった重要な幾何的スタックに対して、GAGA性質を検証すること。
• タンナキアン双対性を解析的設定へと拡張し、タンナキアン的ターゲットを持つ写像スタックに応用すること。
• 適切な有限性および双対性条件の下で、解析化が導来写像スタックの幾何的およびホモトピー的構造を保存することを証明すること。

提案手法

• 導来解析幾何を用いて、導来解析スタックおよび導来アフィンスキームから導来解析空間への導来解析化関手を定義する。
• 解析化の普遍性を応用し、代数的および解析的設定における写像スタックを関連付ける。
• 解析的完備複体のスタックおよびその性質を用いて、写像スタックの解析化を制御する。
• ネストされた導来シュタイン空間上の連接層のコホモロジーの平坦性および整合性に関する結果を確立し、GAGA条件を検証する。
• 解析的設定におけるタンナキアン双対性を用いて、タンナキアン的ターゲットを持つ写像スタックを特徴付ける。
• スペクトル系列およびカルタンの定理Bを用いて、導来シュタイン空間上のコホモロジー計算を退化させる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 解析化関手は、どのような条件下で導来写像スタックの構成と可換となるか？
• RQ2 どの導来スタックがGAGA性質を満たし、その導来準連接層のカテゴリが解析化によって保存されるか？
• RQ3 タンナキアン双対性は、どのように導来解析的設定へと適応可能となり、タンナキアン的ターゲットを持つ写像スタックを特徴付けるか？
• RQ4 写像スタックの解析化が、解析化の写像スタックと同値となるために必要なおよび十分な条件は何か？
• RQ5 幾何的性質（例えば、プロパーや再帰的性）は、導来解析的文脈において、GAGA性質をどれほど強く示唆するか？

主な発見

• 源のスタックがGAGA性質を満たし、ターゲットがタンナキアンであるとき、導来写像スタックの解析化は、解析化の写像スタックと同値である。
• 解析的完備複体のスタックが幾何的であり、解析化と両立することを示し、主要な技術的道具を提供する。
• 体k上のプロパーな幾何的スタックに対して、GAGA性質が成り立ち、解析化が準連接層の導来カテゴリに同値を誘導する。
• 解析化の写像スタックから解析化の写像スタックへの自然な写像が、提示された条件（特にt-正確性および解析化関手の忠実性）の下で同値である。
• 普遍的GAGA性質により、写像スタックの解析化が解析的写像スタックと同値であることが示され、より広いクラスの源へと結果を拡張する。
• 導来シュタイン空間上のコホモロジー的および平坦性的議論を用いて、重要な例（再帰的群の分類スタック、de Rham/Betti/Dolbeaultスタックなど）のGAGA性質を検証する。