[論文レビュー] Analyzing Controllability of Bilinear Systems on Symmetric Groups: Mapping Lie Brackets to Permutations

Wei Zhang, Jr-Shin Li|arXiv (Cornell University)|Aug 7, 2017

Mitochondrial Function and Pathology参考文献 27被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、双線形系におけるベクトル場のリー括弧演算を対称群上の置換に写像する新しい代数的枠組みを提案する。これにより、置換の巡回構造を用いた効率的な可制御性解析が可能となる。主な貢献は、巡回長に基づくSO(n)上での可制御性の必要十分条件の確立であり、多エージェントネットワークやマルコフ連鎖などのグラフベースのシステムへの拡張も行われ、グラフの連結性を通じて可制御性のグラフ理論的表現が明らかになった。

ABSTRACT

Bilinear systems emerge in a wide variety of fields as natural models for dynamical systems ranging from robotics to quantum dots. Analyzing controllability of such systems is of fundamental and practical importance, for example, for the design of optimal control laws, stabilization of unstable systems, and minimal realization of input-output relations. Tools from Lie theory have been adopted to establish controllability conditions for bilinear systems, and the most notable development was the Lie algebra rank condition (LARC). However, the application of the LARC may be computationally expensive for high-dimensional systems. In this paper, we present an alternative and effective algebraic approach to investigate controllability of bilinear systems. The central idea is to map Lie bracket operations of the vector fields governing the system dynamics to permutation multiplications on a symmetric group, so that controllability and controllable submanifolds can be characterized by permutation cycles. The method is further applicable to characterize controllability of systems defined on undirected graphs, such as multi-agent systems with controlled couplings between agents and Markov chains with tunable transition rates between states, which in turn reveals a graph representation of controllability through the graph connectivity.

研究の動機と目的

• 高次元の双線形系におけるリー代数ランク条件（LARC）の計算不能性に対処する。
• 高価な反復的リー括弧計算を回避する、代替的で代数的な可制御性解析手法を開発する。
• so(n)上でのリー括弧演算と対称群S_n上での置換乗算の間の対応関係を確立する。
• 置換の巡回構造を用いて可制御性および可制御部分多様体を特徴付ける。
• 無向グラフ上に定義されたシステム、例えばマルチエージェントシステムやマルコフ連鎖へとこの枠組みを拡張し、連結性を通じて可制御性のグラフ理論的表現を明らかにする。

提案手法

• 右不変双線形系のベクトル場を、リー括弧から置換への写像を通じて対称群S_nの置換に写像する。
• リー括弧演算を模倣するS_n上の二項演算*を定義し、巡回構造と軌道行動を保存する。
• 巡回分解と軌道の和集合を用いて、*演算後の結果となる置換の順序と型を決定する。
• 巡回型（共役類）に基づくS_n上の同値関係~を導入し、置換の詳細から抽象化を可能にする。
• *演算が~を法として可換かつ結合的であることを確立し、一貫性のある代数的扱いを可能にする。
• 必要十分な可制御性条件を導出：系は、生成された置換が最大長nの単一の巡回を生成する場合に限り可制御である。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 双線形系におけるリー括弧演算を、対称群上での置換演算に体系的に写像することは可能か？ これにより可制御性解析が簡略化されるか？
• RQ2 置換演算*のどの代数的性質が、可制御性を特徴付ける際の整合性と正しさを保証するか？
• RQ3 リー括弧から導かれる置換の巡回構造は、SO(n)上での系の可制御性をどのように決定するか？
• RQ4 この枠組みは、マルチエージェントシステムやマルコフ連鎖などの無向グラフ上に定義されたシステムへどの程度一般化可能か？
• RQ5 置換巡回を用いてモデル化された系において、グラフの連結性と可制御性の関係は何か？

主な発見

• SO(n)上での系は、*演算によって生成される置換巡回が長さnの単一の巡回をカバーする場合に限り可制御である。
• S_n上での*演算は巡回構造と軌道の和集合を保存し、低次の巡回から高次の巡回を構成可能にする。
• 巡回型に基づく同値関係~により、*演算がwell-definedかつ~を法として可換であることが保証される。
• 重複するおよび非重複する巡回の軌道に関する場合分けを用いた解析により、*演算の~を法とした結合性が証明される。
• この枠組みにより、グラフベースの系の可制御性が、その基盤となるグラフの連結性に等しいことが明らかになった。これにより、代数的構造とネットワークトポロジーが結びつけられた。
• LARCの反復的リー括弧計算を回避する計算効率の良い代替手法が得られ、置換代数を活用することで実現された。