[論文レビュー] Anchored expansion, speed, and the hyperbolic Poisson Voronoi tessellation

Itaï Benjamini, Elliot Paquette+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 15, 2014

Mathematics and Applications参考文献 7被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、双曲的ポアソンボロノイタイルレーションおよび双曲的ポアソンデローランタイルレーションの1次スケルトン上の単純ランダムウォークが、正の速度を示すことを証明している。その根拠は、これらのランダムグラフが正のアンカード拡張性と指数的体積成長を示すことに基づく。主な貢献は、正のアンカード拡張性と指数的成長を有する定常ランダムグラフは、ほとんど確実に正のliminf速度を持つという一般的事実の確立である。

ABSTRACT

We show that random walk on a stationary random graph with positive anchored expansion and exponential volume growth has positive speed. We also show that two families of random triangulations of the hyperbolic plane, the hyperbolic Poisson Voronoi tessellation and the hyperbolic Poisson Delaunay triangulation, have 1-skeletons with positive anchored expansion. As a consequence, we show that the simple random walks on these graphs have positive speed. We include a section of open problems and conjectures on the topics of stationary geometric random graphs and the hyperbolic Poisson Voronoi tessellation.

研究の動機と目的

• 正のアンカード拡張性と指数的体積成長を有する定常ランダムグラフ上の単純ランダムウォークの正の速度を確立すること。
• 双曲的ポアソンボロノイおよびデローランタイルレーションの1次スケルトンが、ほとんど確実に正のアンカード拡張性を有することを示すこと。
• バウンデッド次数の仮定を定常性と指数的成長に置き換えることで、Virágの速度結果をバウンデッド次数のグラフを超えて拡張すること。
• 定常ランダムグラフ上の有界調和関数の構造を調査し、それが1次元または無限次元であることを示すこと。
• 非可換で双曲的な空間上におけるランダム幾何グラフを、等周的および距離比較技術を用いて分析するフレームワークを提供すること。

提案手法

• アンカード拡張性を緩和された等周的条件として定義する：$ i^*(G) = \liminf_{\substack{|S|\to\infty \\ \rho \in S \\ G|_S \text{ connected}}} \frac{|\partial S|}{\operatorname{Vol}_G(S)} > 0 $ であり、これはランダム摂動に対して安定である。
• ボレル＝カンテリの定理と双曲空間における距離比較を用いて、十分大きな$ x $に対してグラフ距離$ d_G(0,x) \geq \delta \cdot d_\mathbb{H}(0,x) $が成り立つことを示し、これによりグラフ内の体積成長が双曲空間の指数的成長と一致することを示す。
• 双曲幾何を用いて、測地線に沿ってネストされた空の球体$ B_i $を構成し、双曲的円板および半円板構成を用いてボロノイ細胞の構造を制御する。
• 双曲余弦法則および指数的減衰推定を用いて、方向の角度変位$ |\theta(X_{k+1}) - \theta(X_k)| $を評価し、その和が収束すること、かつほとんど確実に方向が収束することを示す。
• $ \mathbb{E}[\deg(\rho)] < \infty $およびユニモジュラリティを用いて、可逆性と定常性を調和関数の存在に結びつける。
• Virág [Vir00] の熱核の減衰に関する結果およびLPP95の過剰なガルトン＝ウォーソン木に関する結果を用いて、アンカード拡張性フレームワークを支援する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 定常ランダムグラフが正のアンカード拡張性と指数的体積成長を有するとき、単純ランダムウォークのliminf速度がほとんど確実に正であるか。
• RQ2 双曲的ポアソンボロノイおよびデローランタイルレーションの1次スケルトンが、ほとんど確実に正のアンカード拡張性を有するか。
• RQ3 Virágの速度結果におけるバウンデッド次数の仮定を、定常性と指数的成長に置き換えることができるか。
• RQ4 定常ランダムグラフ上の有界調和関数の空間の構造はいかなるものか。
• RQ5 双曲的ポアソンボロノイグラフ上の単純ランダムウォークは、ポアンカレ円板モデルにおいて、境界$ S^1 $上の点にほとんど確実に収束するか。

主な発見

• 定理1.1は、正のアンカード拡張性と$ \limsup_{r\to\infty} |B(\rho,r)|^{1/r} < \infty $を有する定常ランダムグラフに対して、単純ランダムウォークがほとんど確実に正の速度を持つことを確立している。
• 双曲的ポアソンボロノイおよびデローランタイルレーションの1次スケルトンは、測地線に沿った空の双曲的円板の幾何的構成により、ほとんど確実に正のアンカード拡張性を有することが示された。
• $ G = \mathscr{V}^\lambda $または$ \mathscr{D}^\lambda $に対して、十分大きな$ d_\mathbb{H}(0,x) $を満たすすべての$ x $に対して、$ \delta > 0 $が存在し、$ d_G(0,x) \geq \delta \cdot d_\mathbb{H}(0,x) $がほとんど確実に成り立つ。
• グラフの体積成長は、$ \limsup_{r\to\infty} \frac{|B_G(0,r)|}{\operatorname{Vol}_\mathbb{H}(B_\mathbb{H}(0,r/\delta))} \leq \lambda $ ほぼ確実に成り立ち、指数的成長が確認された。
• 単純ランダムウォークは、$ \mathscr{V}^\lambda $および$ \mathscr{D}^\lambda $上で、角度変位が和が収束するため、ポアンカレ円板モデルにおいて$ S^1 $上の点にほとんど確実に収束する。
• 定理1.2は、定常ランダムグラフが有界調和関数の空間として1次元または無限次元を有するが、中間の次元は存在しないことを示している。