[論文レビュー] Anderson localisation for an interacting two-particle quantum system on ${\mathbb Z}$

Victor Chulaevsky, Yuri Suhov|arXiv (Cornell University)|May 4, 2007

Spectral Theory in Mathematical Physics参考文献 7被引用数 13

ひとこと要約

本稿は、1次元格子 ℤ 上の2粒子量子系に対して、短距離相互作用と確率的外部ポテンシャルをもつ場合に、アンドリュー・ローカリゼーションを確立する。相互作用系に適応された洗練されたマルチスケール解析を用いて、不純度が十分に大きい（結合定数 g が大きい）場合に、スペクトルが純点であり、すべての固有関数がほとんど確実に指数関数的に減衰することを証明する。不純度分布が実軸の周りのストリップ内で解析的であるという仮定の下で成立する。

ABSTRACT

We study spectral properties of a system of two quantum particles on an integer lattice with a bounded short-range two-body interaction, in an external random potential field $V(x,ω)$ with independent, identically distributed values. The main result is that if the common probability density $f$ of random variables $V(x,ω)$ is analytic in a strip around the real line and the amplitude constant $g$ is large enough (i.e. the system is at high disorder), then, with probability one, the spectrum of the two-particle lattice Schroedinger operator $H(ω)$ (bosonic or fermionic) is pure point, and all eigen-functions decay exponentially. The proof given in this paper is based on a refinement of a multiscale analysis (MSA) scheme proposed by von Dreifus and Klein, adapted to incorporate lattice systems with interaction.

研究の動機と目的

• 有限範囲の相互作用と確率的外部ポテンシャルを有する ℤ 上の2粒子量子系のスペクトル局在性を確立すること。
• フォン・ドライフスとクラインのマルチスケール解析（MSA）枠組みを、相互作用を有する多粒子系へと拡張すること。
• 高不純度（大きな g）の下で、2粒子ハミルトニアンのスペクトルが純点であり、固有関数が指数関数的に減衰することを証明すること。
• 適切な境界条件を用いて、副対角線半格子 ℤ²≥ 上でボソン的およびフェルミオン的統計を反映させること。
• 単粒子ポテンシャルが実軸の周りのストリップ内で解析的分布を有する場合に、ローカリゼーションが継続するかどうかを示すこと。

提案手法

• フォン・ドライフス–クラインのマルチスケール解析（MSA）方式を、相互作用を有する2粒子格子系に適応すること。
• ℓ²(ℤ²≥) を2粒子ヒルベルト空間と定義する。ここで ℤ²≥ = {(x₁,x₂) ∈ ℤ² : x₁ ≥ x₂} であり、境界条件はボソン的（反射）またはフェルミオン的（ディリクレ）統計を反映する。
• ハミルトニアン H = H⁰ + U + g(V₁ + V₂) で系をモデル化する。ここで H⁰ は格子ラプラシアン、U は有限範囲の相互作用、V(x,ω) は独立同分布の確率変数である。
• トンネル効果および共鳴事象の確率的推定を用いて、有限体積内での固有関数の減衰を制御する。
• 尺度パラメータ Lₖ における帰納法を用いて、連続するスケールにおけるローカリゼーション確率の再帰的推定を適用する。指数的減衰境界と組み合わせて実行する。
• 主要な減衰推定式を確立する：P(Bₖ) ≤ 4Lₖ⁻⁴ < Lₖ₊₁⁻¹²、ここで p=6, q=24, α=3/2 であり、MSA の帰納的ステップを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 相互作用を有する確率的ポテンシャルを伴う ℤ 上の2粒子系が、高不純度下で純点スペクトルを示すか？
• RQ2 マルチスケール解析技法は、有限範囲の2体相互作用を有する多粒子系へと拡張可能か？
• RQ3 不純度分布にどのような条件を課すと、相互作用を有する2粒子系において固有関数の指数的ローカリゼーションが保証されるか？
• RQ4 ボソン的およびフェルミオン的統計は、2粒子系におけるローカリゼーション特性にどのように影響を与えるか？
• RQ5 単粒子ポテンシャルが実軸の周りのストリップ内で解析的分布を有する場合、ローカリゼーションは安定的か？

主な発見

• 十分に大きな結合定数 g の下で、2粒子ハミルトニアンのスペクトルは確率1で純点である。
• すべての固有関数が無限遠で指数関数的に減衰する。これにより、相互作用系における指数的（アンドリュー）ローカリゼーションが確認される。
• この結果は、確率的ポテンシャルの確率密度 f が実軸の周りのストリップ内で解析的であるという仮定の下で成立する。
• 証明は、2粒子系に適応された洗練されたマルチスケール解析に依拠しており、ローカリゼーション確率の再帰的減衰推定が行われる。
• 非ローカリゼーション事象の確率は、任意の多項式よりも速く減少し、MSA の反復の収束を保証する。
• この手法は、適切な境界条件を用いた副対角線格子 ℤ²≥ 上で、ボソン系およびフェルミオン系の両方へ適用可能である。