[論文レビュー] Anderson localization for electric quantum walks and skew-shift CMV matrices

Christopher Cedzich, Albert H. Werner|arXiv (Cornell University)|Jun 27, 2019

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ひとこと要約

本稿は、無理数パラメータを有する一様電場下における1次元量子ウォークのアンドリュー局在性を確立し、リークベーグ測度的（ほとんどすべての）無理数電場に対して、絶対連続スペクトルの不在および固有状態の指数的局在性を証明する。スプライス・シフトVerblunsky係数を有するCMV行列とのユニタリ同値性を用い、リャプノフ指数の明示的解析的表現を導出し、準周期的ユニタリバンド行列へ結果を拡張する。

ABSTRACT

We consider the spectral and dynamical properties of one-dimensional quantum walks placed into homogenous electric fields according to a discrete version of the minimal coupling principle. We show that for all irrational fields the absolutely continuous spectrum of these systems is empty, and prove Anderson localization for almost all (irrational) fields. This result closes a gap which was left open in the original study of electric quantum walks: a spectral and dynamical characterization of these systems for typical fields. Additionally, we derive an analytic and explicit expression for the Lyapunov exponent of this model. Making use of a connection between quantum walks and CMV matrices our result implies Anderson localization for CMV matrices with a particular choice of skew-shift Verblunsky coefficients as well as for quasi-periodic unitary band matrices.

研究の動機と目的

• 有理数および特殊な無理数の場合の先行結果にもかかわらず、無理数電場下における電場量子ウォークのスペクトル的および力学的挙動の理解に空白が残っていたことを解消すること。
• リークベーグ測度的（ほとんどすべての）無理数電場に対して、系が純粋点スペクトルを示し、指数的減衰する固有関数を有すること、すなわちアンドリュー局在性を示すこと。
• 電場量子ウォークモデルのリャプノフ指数に対する明示的で解析的な表現を導出すること。
• 量子ウォーク–CMV行列対応を用い、スプライス・シフトVerblunsky係数を有するCMV行列および準周期的ユニタリバンド行列へ局在性結果を拡張すること。
• 特に連分数係数で特徴づけられない電場における、準周期的領域における一般的なスペクトル的挙動の未解決問題を解消すること。

提案手法

• 電場量子ウォークを離散的最小結合原理によって形式化し、空間的に変化するコイン演算子を電場によって誘導されるℓ2(Z)⊗C2上でのユニタリ時間発展演算子WΦとしてモデル化する。
• 特に、毎秒のVerblunsky係数が消えるスパースCMV行列である量子ウォークとCMV行列とのユニタリ同値性を応用し、電場ウォークをスプライス・シフト係数を有するCMV行列に写像する。
• 「スィービング」技術を用い、スパースCMV行列からの局在性結果を、スプライス・シフトVerblunsky係数を有するフルCMV行列へ拡張する。
• 移行行列形式およびスプライス・シフト力学系の性質を用いて、量子ウォークのリャプノフ指数に対する明示的解析的公式を導出する。
• 特にリャプノフ指数の正値性およびホルダー連続性に言及する準周期的シュレーディンガーおよびCMV作用素に関する先行結果を活用し、クレイグ＝ベルソーン法または類似のスペクトル的技法により局在性を証明する。
• ほとんどすべての無理数周波数（リークベーグ測度の意味で）に対して、スペクトルが純粋点スペクトルであり、固有関数が指数的に減衰することを証明し、アンドリュー局在性を確認する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 無理数パラメータを有する電場量子ウォークに対して、特にリークベーグ測度的（ほとんどすべての）集合に属する電場において、アンドリュー局在性が成立するか？
• RQ2 ほとんどすべての無理数電場に対して、電場量子ウォーク作用素WΦのスペクトル型（ac, sc, pp）は何か？
• RQ3 電場量子ウォークのリャプノフ指数は閉形式で表現可能か？ そして、力学的挙動およびスペクトル的性質とどのように関係するか？
• RQ4 量子ウォークとCMV行列とのユニタリ同値性は、スパースからフルCMV行列への局在性結果の拡張を可能にするか？
• RQ5 スプライス・シフト型係数を有する準周期的ユニタリバンド行列に対しても、ほとんどすべての周波数においてアンドリュー局在性が成立するか？

主な発見

• リークベーグ測度的（ほとんどすべての）無理数電場に対して、電場量子ウォークの絶対連続スペクトルは空集合であり、スペクトルは純粋点スペクトルに一致する。
• ほとんどすべての無理数電場に対して、電場量子ウォークの固有関数は指数的に減衰し、アンドリュー局在性が確認される。
• リャプノフ指数に対する明示的で解析的な表現が導出され、無理数電場を有する電場量子ウォーク全般に適用可能である。
• この結果は、2次元スプライス・シフト力学系によって生成されるVerblunsky係数を有するスパースCMV行列に対してもアンドリュー局在性を示唆する。
• 「スィービング」技術を用いることで、スプライス・シフトVerblunsky係数を有するフルCMV行列への局在性結果が拡張される。
• 本稿は、スプライス・シフト型係数を有する準周期的ユニタリバンド行列に対してもアンドリュー局在性を確立し、Liouville周波数において純粋特異連続スペクトルが得られる以前の結果を補完する。