[論文レビュー] Anderson t-modules with thin t-adic Galois representations

Andreas Maurischat|arXiv (Cornell University)|Jul 11, 2019

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 9被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、カルビッツ・モジュールの延長である、均一化可能なアンドリューセン $t$-モジュールの族を構成する。この族の $t$-進ガロア表現の像は、モチーフ的ガロア群においてザリスキ密であるが、$t$-進位相で開ではない。これは、このような像が「スカスカ」である（密度 $1/(k+1)$）可能性を示している。結果はピンクのドリーファイン・モジュールに関する ${\mathfrak{p}}$-進開性の結果と対照的であり、正標数のモチーフにおけるガロア像の振る舞いの理解を拡張する。

ABSTRACT

Pink has given a qualitative answer to the Mumford-Tate conjecture for Drinfeld modules in the 90s. He showed that the image of the v-adic Galois representation is v-adically open in the motivic Galois group for any prime v. In contrast to this result, we provide a family of uniformizable Anderson t-modules for which the Galois representations of their t-adic Tate-modules are "far from" having t-adically open image in their motivic Galois groups. Nevertheless, the image is still Zariski-dense in the motivic Galois group which is in accordance to the Mumford-Tate conjecture. For the proof, we explicitly determine the motivic Galois group as well as the Galois representation for these t-modules.

研究の動機と目的

• 関数体設定におけるアンドリューセン $t$-モジュールの $t$-進ガロア表現の構造を調査し、特にその像がモチーフ的ガロア群において $t$-位相で開であるかどうかを検討する。
• ピンクのドリーファイン・モジュールに関する研究で示されたように、ガロア像が $t$-位相で開であるはずだと予想されるが、その反例を提供する。
• 剛体解析的自明化を用いて、カルビッツ・モジュールの延長である $t$-モジュールの族に対して、モチーフ的ガロア群とガロア表現を明示的に計算する。
• 超微分と $t$-進密度の理論を適用し、$t$-進密度を定量化することで、ガロア像の「スカスカさ」を測る。特に、ザリスキ密であるにもかかわらず、密度が1未満である可能性を示す。

提案手法

• 上三角行列からなる群として、$\Gamma_{\rho_kC}$ を ${{\mathbb{F}}_{\!q}}[\![t]\!]$ の元として、単元と $k$ 個の係数でパラメトライズされた、対角成分が等しい行列の群として明示的に計算する。
• モチーフの剛体解析的自明化を用いて、$a \in {{\mathbb{F}}_{\!q}}[\![t]\!]^\times$ の超微分 $\partial_t^{(i)}(a)$ と $t$-進テートモジュールを関係づける。
• $\operatorname{Gal}(K^{\mathrm{sep}}/K)$ から $\operatorname{GL}_{k+1}({{\mathbb{F}}_{\!q}}[\![t]\!])$ への $t$-進ガロア表現 $\varrho_t$ を、$a$ 及びその超微分を含む行列の形で構成する。
• 超微分の理論と $t$-進密度の理論を応用し、$t^N$ を法とする像の漸近的サイズ $D(N)$ を計算し、密度公式 $\delta(\varrho_t) = \frac{1}{k+1}$ を得る。
• カルビッツ・モジュール $C^{\otimes d}$ のテンソル冪へと密度計算を一般化し、$d = p^e d'$ のとき $\delta(\varrho_E) = \frac{1}{p^e}$ を示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 アンドリューセン $t$-モジュールの $t$-進ガロア表現の像が、ザリスキ密であるにもかかわらず、モチーフ的ガロア群において $t$-位相で開でないことはあり得るか？
• RQ2 カルビッツ・モジュールの延長のためのモチーフ的ガロア群の正確な構造は何か？
• RQ3 これらの $t$-モジュールにおける $t$-進密度のガロア像の振る舞いはいかなるものか？ また、それは1未満に strictly なる可能性はあるか？
• RQ4 ガロア像が「スカスカ」である、つまり低 $t$-進密度を持つような、明示的な $t$-モジュールの族は存在するか？

主な発見

• カルビッツ・モジュールの $k$-番目の延長のモチーフ的ガロア群 $\Gamma_{\rho_kC}$ は、${{\mathbb{F}}_{\!q}}[\![t]\!]^\times$ の元からなる対角成分が等しい上三角行列の群と同型である。
• $t$-進ガロア表現 $\varrho_t$ は、ガロア元の像が $a$ 及びその超微分 $\partial_t^{(i)}(a)$ を成分とする行列として、$\operatorname{GL}_{k+1}({{\mathbb{F}}_{\!q}}[\![t]\!])$ に倣う表現を形成する。
• $\varrho_t$ の像は $\Gamma_{\rho_kC}$ においてザリスキ密であり、ムーディ・テイト予想と整合的であるが、$t$-位相で開ではない。
• $\varrho_t$ の $t$-進密度は $\delta(\varrho_t) = \frac{1}{k+1}$ であり、これは像が $t$-進位相で閉包が低次元である「スカスカ」な性質を示している。
• テンソル冪 $E = C^{\otimes d}$ で $d = p^e d'$ のとき、$t$-進密度は $\delta(\varrho_E) = \frac{1}{p^e}$ であり、$e \geq 1$ のとき1未満となる。これは、これらのケースで非開性が確認される。