[論文レビュー] Anderson T-motives and abelian varieties with MIQF: results coming from an analogy

A. Grishkov, Dmitry Logachev|arXiv (Cornell University)|Jul 27, 2009

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 3被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、アンドリュース T-モチーフと虚二次体 $ K $ に整除するアーベル多様体（MIQF）の類似性を確立し、以下の2つの主要な結果を導く：(1) 維度 $ r $ でシグネチャ $ (n, r-n) $ の MIQF アーベル多様体の特徴付けは、$ \mathbb{C}^n $ の $ r $ 次元の $ O_K $-部分加群を用いてなされ、(2) $ n=1 $ の場合に MIQF アーベル多様体の $ k $-重外冪の構成が、T-モチーフの外冪と類似した方法でなされ、その構成により、指定されたシグネチャを持つ新たな MIQF アーベル多様体が得られる。

ABSTRACT

Analogy between Anderson T-motives and abelian varieties with multiplication by an imaginary quadratic field (MIQF) is a source of 2 results: 1. A description of abelian varieties with MIQF of dimension $r$ and signature $(n, r-n)$ in terms of "lattices" of dimension $r$ in $\Bbb C^n$; 2. A construction of exterior powers of abelian varieties with MIQF having $n=1$.

研究の動機と目的

• アンドリュース T-モチーフと MIQF を持つアーベル多様体の類似性を探索・形式化すること、特に $ N=0 $ の均一化可能で純粋な T-モチーフの文脈において。
• T-モチーフの格子構成に類似した、次元 $ r $ でシグネチャ $ (n, r-n) $ の MIQF アーベル多様体の格子論的記述を提供すること。
• $ n=1 $ の場合に、MIQF アーベル多様体の $ k $-重外冪を定義し、T-モチーフの既知の構成に類似した方法で構成すること。
• この構成により、新たな MIQF アーベル多様体が得られることを示し、写像 $ GU(1,r-1) \to GU\left(\binom{r-1}{k-1}, \binom{r-1}{k}\right) $ を通じてシムーラ多様体と関連付けること。

提案手法

• 関数体の設定から数体の設定へと移行するため、T-モチーフと MIQF アーベル多様体の類似性を用いた構成の転送。
• 写像 $ \alpha $ を通じて、$ \mathbb{C}^r $ の代わりに $ \mathbb{C}^n $ の $ r $ 次元の $ O_K $-部分加群としての格子 $ L(A) $ の構成。これは、T-モチーブ格子 $ L(M) \subset \mathbb{C}_\infty^n $ の一般化である。
• 正確な完全列 $ 0 \to \ker \alpha \to L \otimes_K \mathbb{C} \to \mathbb{C}^n \to 0 $ の $ k $-重外冪を用いた $ \lambda^k(A) $ の定義と、誘導されたヘルミート形式 $ \lambda^k(H_L) $ の導入。
• $ n=1 $ のとき、$ (-1)^k \lambda^k(H_L) $ が $ \lambda^k(\ker \alpha) $ 上で正定値であることを確認し、well-defined なアーベル多様体の構造の存在を保証すること。
• 写像 $ \gamma \mapsto \lambda^k(\gamma) $ を用いて、$ GU(1,r-1) \to GU\left(\binom{r-1}{k-1}, \binom{r-1}{k}\right) $ という準同型を定義し、構成をシムーラ多様体と関連付けること。
• 格子記述と外冪構成が互いに逆であることを証明し、同種の意味で一対一対応を確立すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 次元 $ r $ でシグネチャ $ (n,r-n) $ の MIQF アーベル多様体は、$ \mathbb{C}^r $ の代わりに $ \mathbb{C}^n $ の $ r $ 次元の $ O_K $-部分加群を用いて、T-モチーフと類似した方法で記述可能か？
• RQ2 $ n=1 $ の場合に、T-モチーフと類似した方法で、MIQF アーベル多様体の $ k $-重外冪が well-defined に構成可能か？
• RQ3 次元 $ r $ でシグネチャ $ (1,r-1) $ の MIQF アーベル多様体の $ k $-重外冪のシグネチャは何か？
• RQ4 この構成をシムーラ多様体の間の写像 $ GU(1,r-1) \to GU\left(\binom{r-1}{k-1}, \binom{r-1}{k}\right) $ に拡張可能か？
• RQ5 なぜこの構成は $ n \neq 1, r-1 $ のとき失敗するのか？ また、この文脈では対称冪やテンソル冪を同様に定義できないのはなぜか？

主な発見

• 本稿では、シグネチャ $ (n,r-n) $ の MIQF アーベル多様体の格子として機能する $ r $ 次元の $ O_K $-部分加群 $ \gamma(L) \subset \mathbb{C}^n $ を構成し、T-モチーフ格子 $ L(M) \subset \mathbb{C}_\infty^n $ の一般化となっている。
• $ n=1 $ の場合、次元 $ r $ の MIQF アーベル多様体 $ A $ の $ k $-重外冪 $ \lambda^k(A) $ が存在し、シグネチャ $ \binom{r-1}{k-1}, \binom{r-1}{k} $ の新たな MIQF アーベル多様体を定義することが示された。
• ヘルミート形式 $ \lambda^k(H_L) $ が $ \lambda^k(\ker \alpha) $ 上で正定値であることが $ n=1 $ のとき確認され、well-defined なアーベル多様体構造の存在が保証された。
• $ \lambda^k(A) $ の構成はシムーラ多様体の理論と整合しており、ガロア表現の外冪から自然に導かれる写像 $ GU(1,r-1) \to GU\left(\binom{r-1}{k-1}, \binom{r-1}{k}\right) $ が関連づけられた。
• この構成は格子記述と逆であり、同種の意味で、このような MIQF アーベル多様体とそれに対応する $ \mathbb{C}^n $ の $ O_K $-部分加群の間の一対一対応を確立した。
• この方法は $ n \neq 1, r-1 $ のとき失敗し、対称冪やテンソル冪も同様の方法では定義できないことが判明し、$ n=1 $ がこの類似性において特別な役割を果たしていることが強調された。