[論文レビュー] André-Quillen cohomology and rational homotopy of function spaces

Jonathan Block, Andrey Lazarev|ArXiv.org|Jun 28, 2003

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 11被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、サリヴァン＝ド・ラームモデルのアンドレ＝キュイレンコhomologyと、有理ホモトピー論における関手空間および自己同値空間のホモトピー群との直接的な関係を確立する。関手空間 $ F(X,Y) $ のホモトピー群および有理化された自己同値群 $ hAut(X_{\mathbb{Q}}) $ は、それぞれ $ X $ と $ Y $ の有理モデルのアンドレ＝キュイレンコhomologyによって計算され、$ hAut(X_{\mathbb{Q}}) $ のリー代数は $ H^{0}_{AQ}(A^{*}(X), A^{*}(X)) $ として特定され、サリヴァンの算術的結果に対する概念的枠組みを提供する。

ABSTRACT

We develop a simple theory of André-Quillen cohomology for commutative differential graded algebras over a field of characteristic zero. We then relate it to the homotopy groups of function spaces and spaces of homotopy self-equivalences of rational nilpotent $CW$-complexes. This puts certain results of Sullivan in a more conceptual framework.

研究の動機と目的

• 特性がゼロの体上の可換微分付き代数（dga）に対して、アンドレ＝キュイレンココホモロジーの直接的かつ計算可能な理論を構築すること。
• アンドレ＝キュイレンココホモロジーと、有理的ニルポテンツ $ CW $-複体間の関手空間 $ F(X,Y) $ のホモトピー群との関係を明らかにすること。
• サリヴァンの結果、すなわち $ hAut(X_{\mathbb{Q}}) $ が算術的群であるという事実を再証明し、そのリー代数を $ H^{0}_{AQ}(A^{*}(X), A^{*}(X)) $ として同定することにより、概念的枠組みを提供すること。
• dgaモデルを用いて、非点付き関手空間の高次のホモトピー群の計算を拡張すること。

提案手法

• dga $ A $ とdg $ A $-加群 $ M $ に対して、明示的なコチェーン複体 $ C^{*}_{AQ}(A,M) $ を用いてアンドレ＝キュイレンココホモロジーを定義する。
• この複体が導来函手と同値であり、dgaおよびdg加群のモデルカテゴリ構造を用いてホモトピー不変性を示す。
• $ C^{*}_{AQ}(A,A) $ 上にゲルステンハーバー括弧を導入し、それがコホモロジー上にリー代数構造を誘導することを示す。
• サリヴァン＝ド・ラーム関手を用いて、位相的関手空間を、$ A^{*}(Y) $ 上のdgaの圏におけるdga準同型空間に翻訳する。
• 有理的有限型空間とdgaの間のホモトピー圏における反同値を用いて、$ \pi_n(F(X,Y)) $ を $ H^{-n}_{AQ}(A^{*}(Y), A^{*}(X)) $ に結びつける。
• $ A^{*}(X \times S^n) \simeq A^{*}(X) \ltimes A^{*}(X)[n] $ の構造を用い、ホモトピーファイバー列をモデル化し、ホモトピー群を計算する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 特性がゼロの体上の可換dgaに対して、アンドレ＝キュイレンココホモロジーを体系的かつ計算可能にどのように行えるか。
• RQ2 関手空間 $ F(X,Y) $ のホモトピー群と、それらの有理モデルのアンドレ＝キュイレンココホモロジーとの正確な関係は何か。
• RQ3 有理自己同値群 $ hAut(X_{\mathbb{Q}}) $ のリー代数は、どのようにコホモロジー的対象として実現されるか。
• RQ4 非点付き関手空間の高次ホモトピー群は、アンドレ＝キュイレンココホモロジーを用いて計算可能か。

主な発見

• $ F(X,Y) $ の基点 $ f $ における $ n $ 番目のホモトピー群は、$ H^{-n}_{AQ}(A^{*}(Y), A^{*}(X)) $ に同型であり、$ n \geq 2 $ ではアーベル群の同型が成り立つ。
• $ hAut(X_{\mathbb{Q}}) $ のリー代数は $ H^{0}_{AQ}(A^{*}(X), A^{*}(X)) $ に同型であり、ゲルステンハーバー括弧がリー括弧を誘導する。
• $ f: X \to Y $ が零ホモトピー的であるとき、$ H^{*}_{AQ}(A^{*}(Y), A^{*}(X)) \cong H^{*}_{AQ}(A^{*}(Y), \mathbb{Q}) \hat{\otimes} H^{*}(X) $ が成り立ち、有理ホモトピー論における既知の結果が回復される。
• simply-connected な $ X $ と $ Y $ に対して、$ \pi_n(F(X,Y)) \cong H^{1-n}(L(X), L(Y)) $ が成り立ち、ここで $ L(X) $ と $ L(Y) $ はクイレンモデルである。これは、有限性仮定を超えた一般化を示唆する。
• コホモロジー $ H^{*}_{AQ}(A^{*}(Y), A^{*}(X)) $ は、$ A^{*}(Y) $ 上の有理的空間とdgaの間の反同値を介して、$ F(X,Y) $ のホモトピー群を計算する。