[論文レビュー] Angular asymptotics for multi-dimensional non-homogeneous random walks with asymptotically zero drift

I. M. MacPhee, Mikhail Menshikov+1 more|Durham Research Online (Durham University)|Oct 9, 2009

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 22被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、ℤᵈ 上の多次元非一様な無作為ウォークを、漸近的にゼロのドリフトを伴うものとして分析し、ドリフトの大きさが ‖x‖⁻¹ のオーダーであるとき、ウォークは任意の錐からほとんど確実に抜けることを示している。一方、ドリフトが ‖x‖⁻ᵝ のオーダー（β∈(0,1)）である場合には、ウォークは極限的な進行方向を発達させ、任意に狭い錐に留まる。これらの結果は、最小限のモーメント条件および等方性条件のもとで成り立ち、古典的な1次元の漸近的ドリフト理論を、新規の角運動のダイナミクスを伴って高次元へと拡張するものである。

ABSTRACT

We study the first exit time $τ$ from an arbitrary cone with apex at the origin by a non-homogeneous random walk (Markov chain) on $\Z^d$ ($d \geq 2$) with mean drift that is asymptotically zero. Specifically, if the mean drift at $\bx \in \Z^d$ is of magnitude $O(\| \bx\|^{-1})$, we show that $τ

研究の動機と目的

• 無作為ウォークの平均ドリフトが無限遠でゼロに近づく ℤᵈ 上の非一様な無作為ウォークの角的挙動を理解すること。
• このようなウォークが任意の錐からほとんど確実に抜ける、あるいは極限的進行方向を発達させる条件を特定すること。
• 1次元の漸近的ドリフト理論を、最小限の増分構造に関する仮定のもとで、高次元の非一様な設定へと拡張すること。
• ウォークの進行方向がほとんど確実に極限的な確率的進行方向に収束する条件を確立すること。

提案手法

• 多変数の錐からの抜出問題を、投影過程に関する1次元の抜出問題に還元するために、錐の分解と射影技術を用いる。
• 時不変マルコフ連鎖構造を有する停止時刻の議論を適用し、弱い等方性を活用して進行方向の偏りを制御する。
• 切断された錐における到達確率の均一な下界の存在に基づくカップリング議論を採用し、大半の半径に戻る再帰性を保証する。
• 証明は、十分に大きな初期位置に対して、ウォークがわずかに大きな角度の錐内に高い確率で留まることを示す定理5.1に依存する。
• 半角 α′ の有限個の錐を用いた被覆議論により、ウォークが正の確率で最終的に入り込み、それ以上に留まることが保証される。
• ウォークが球の外部に再帰することと、有限個の錐内での角的集中の持続性から、極限的進行方向の存在が導かれる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非一様な無作為ウォークが ℤᵈ 上にあり、漸近的にゼロのドリフトを伴う場合、どのような条件下で任意の錐からほとんど確実に抜けるか？
• RQ2 ドリフトが ‖x‖⁻ᵝ のオーダー（β∈(0,1)）で減衰する場合、このようなウォークは極限的進行方向を発達させるか？
• RQ3 ウォークの角的挙動は、平均ドリフトベクトルの減衰率にどのように依存するか？
• RQ4 極限的進行方向の存在、または錐からのほぼ確実な抜出を保証するための最小限のモーメント条件および等方性条件は何か？
• RQ5 これらの結果は、ℤᵈ を超えて、他の非有界状態空間へとどの程度一般化可能か？

主な発見

• 平均ドリフトの大きさが ‖x‖⁻¹ のオーダーである場合、任意の錐からの最初の抜出時刻は、ウォークの再帰性または非再帰性のクラスにかかわらず、ほとんど確実に有限である。
• ドリフトが ‖x‖⁻ᵝ のオーダー（β∈(0,1)）である場合、ウォークはほとんど確実に極限的進行方向を発達させ、すべての十分大きな時刻において任意に狭い錐に留まる。
• 極限的進行方向はほとんど確実に定義されており、単位球面上で正の確率で任意の指定された方向に近づく。
• 結果は、増分の2次のモーメントの均一な有界性と弱い等方性条件のみを仮定して成り立つ。対称性、有界性、正則性（ellipticity）の要件は不要である。
• 極限的進行方向が存在する場合、ウォークはほとんど確実に非再帰的であり、ノルムが無限大に発散する。
• 解析は、漸近的にゼロのドリフトを伴う確率的環境の中の無作為ウォークなどのモデルに適用可能であり、角的極限が良好に振る舞う新しいクラスのモデルを提供する。