[論文レビュー] Angular momentum and conservation laws for dynamical black holes

Sean A. Hayward|ArXiv.org|Jan 15, 2006

Experimental and Theoretical Physics Studies被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、捕獲ホライズンを用いて、ブラックホール熱力学の整合的な動的枠組みを構築し、保存則に従うコンパクトな角運動量をKomar積分により定義する。エネルギー、角運動量、電荷のフラックスを含む、動的ブラックホールの第一法則を導出し、古典的Kerr-Newman法則を、重力波が剪断テンソルに符号化された非定常的で変化するホライズンに一般化する。

ABSTRACT

Black holes can be practically located (e.g. in numerical simulations) by trapping horizons, hypersurfaces foliated by marginal surfaces, and one desires physically sound measures of their mass and angular momentum. A generically unique angular momentum can be obtained from the Komar integral by demanding that it satisfy a simple conservation law. With the irreducible (Hawking) mass as the measure of energy, the conservation laws of energy and angular momentum take a similar form, expressing the rate of change of mass and angular momentum of a black hole in terms of fluxes of energy and angular momentum, obtained from the matter energy tensor and an effective energy tensor for gravitational radiation. Adding charge conservation for generality, one can use Kerr-Newman formulas to define combined energy, surface gravity, angular speed and electric potential, and derive a dynamical version of the so-called "first law" for black holes. A generalization of the "zeroth law" to local equilibrium follows. Combined with an existing version of the "second law", all the key quantities and laws of the classical paradigm for black holes (in terms of Killing or event horizons) have now been formulated coherently in a general dynamical paradigm in terms of trapping horizons.

研究の動機と目的

• 非定常時空における動的ブラックホールの物理的に妥当で一意な角運動量の測定法を確立すること。
• 物質および重力波フラックスを含む保存則に類似した角運動量保存則を導出すること。
• キリングベクトルを必要としない、動的で捕獲ホライズンに基づくブラックホールに、ブラックホール力学の第一および零番目の法則を一般化すること。
• 重力波の有効エネルギーテンソルを用いた局所的枠組みで、エネルギー・角運動量・電荷の保存を統合すること。
• Kerr-Newmanの公式を捕獲ホライズン上の臨界表面に適応させ、熱力学的量（エネルギー、表面重力、角速度、電気ポテンシャル）を定義すること。

提案手法

• 軸対称ベクトル場 $ \psi^{a} $ が臨界表面で横断的かつ発散なしであることを保証することで、Komar積分を用いて角運動量を定義し、幾何的制約によって一意性を確保する。
• foliatingベクトル場 $ \xi^{a} $ 沿って $ L_{\xi}\psi^{a} = 0 $ を課すことにより、保存則と整合性を保つ。
• 角運動量の保存則を導出：$ L_{\xi}J = -\oint_{S} {*} (T_{ab} + \Theta_{ab}) \psi^{a} \tau^{b} $、ここで $ \Theta_{ab} $ は重力波フラックスを符号化する有効エネルギーテンソル。
• 有効エネルギーテンソル $ \Theta_{ab} $ を臨界表面の剪断 $ \sigma_{\pm ij} $ から定義し、$ \Theta_{i\pm} = -\frac{1}{16\pi} h^{jk} D_k \sigma_{\pm ij} $ と表す。
• 不変質量 $ M $、角運動量 $ J $、電荷 $ Q $ を用いてKerr-Newmanの公式から一般化されたエネルギー $ E $ を構成し、熱力学的ポテンシャルを定義する。
• 動的第一法則を導出：$ L_{\xi}E = \frac{\kappa}{8\pi} L_{\xi}A + \Omega L_{\xi}J + \Phi L_{\xi}Q $、ここで $ \kappa, \Omega, \Phi $ は $ E $ の熱力学的微分により定義される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 キリング対称性に依存しない動的ブラックホールの角運動量を一意に定義する方法は何か？
• RQ2 重力波および物質フラックスが存在する状況での角運動量保存則の形は何か？
• RQ3 ブラックホール力学の第一法則を、動的で捕獲ホライズンに基づくブラックホールに一般化できるか？
• RQ4 重力波は捕獲ホライズンの幾何にどのように符号化されるか？
• RQ5 動的ホライズン上で一貫して定義可能な熱力学的量（エネルギー、表面重力、角速度、電気ポテンシャル）は何か？

主な発見

• 臨界表面での幾何的制約によって固定される横断的かつ発散のない軸対称ベクトル場 $ \psi^{a} $ を用いたKomar積分により、一意な角運動量 $ J $ が定義される。
• 捕獲ホライズンおよび均等に拡張する流れに対して、保存則 $ L_{\xi}J = -\oint_{S} {*} (T_{ab} + \Theta_{ab}) \psi^{a} \tau^{b} $ が成立し、$ \Theta_{ab} $ が重力波フラックスを符号化する。
• 有効エネルギーテンソル $ \Theta_{ab} $ は剪断 $ \sigma_{\pm ij} $ から導出され、その成分 $ \Theta_{\pm\pm} = ||\sigma_{\pm}||^2 / 32\pi $ は、BondiエネルギーフラックスおよびIsaacson放射密度の既知の結果を回復する。
• Kerr-Newmanの公式を用いて一般化されたエネルギー $ E $ が定義され、$ E \geq M $ であり、不変質量、回転運動エネルギー、静電エネルギーの寄与を含む。
• 動的第一法則 $ L_{\xi}E = \frac{\kappa}{8\pi} L_{\xi}A + \Omega L_{\xi}J + \Phi L_{\xi}Q $ が導出され、熱力学的ポテンシャル $ \kappa, \Omega, \Phi $ が $ E $ の微分として定義され、古典的第一法則を一般化する。
• 局所的平衡は $ (j_M, j_J, j_Q)^a \tau_a = 0 $ に対応し、$ (M, J, Q) $ および表面重力 $ \kappa $ が一定であることを意味し、零番目の法則を動的ホライズンに一般化する。