[論文レビュー] Anisotropic Function Spaces on Singular Manifolds

Herbert Amann|arXiv (Cornell University)|Apr 3, 2012

Advanced Harmonic Analysis Research参考文献 42被引用数 19

ひとこと要約

本稿では、特異的多様体上の時刻に依存するテンソル場に対して、非等方的加重ソボレフ空間、ベッセル潜在力空間、およびベソフ空間を導入し、その双対性、再帰的性、および補間性質を確立する。主な貢献は、可変正則性および重みを有する関数空間の包括的スケールを、実補間および複素補間を統合的に用いて構築し、適切なノルムのもとで等価であることを示したことである。

ABSTRACT

A rather complete investigation of anisotropic Bessel potential, Besov, and Hölder spaces on cylinders over (possibly) noncompact Riemannian manifolds with boundary is carried out. The geometry of the underlying manifold near its 'ends' is determined by a singularity function which leads naturally to the study of weighted function spaces. Besides of the derivation of Sobolev-type embedding results, sharp trace theorems, point-wise multiplier properties, and interpolation characterizations particular emphasize is put on spaces distinguished by boundary conditions. This work is the fundament for the analysis of time-dependent partial differential equations on singular manifolds.

研究の動機と目的

• 特異的多様体上での非等方的加重関数空間の体系的理論を構築すること、特に時刻に依存するテンソル場を対象とすること。
• 重み付きノルムと可変正則性パラメータを用いて、非等方的ソボレフ空間、ベッセル潜在力空間、およびベソフ空間を定義し、特徴づけること。
• これらの空間の再帰的性、双対性、および補間性質を確立し、特異的領域における偏微分方程式解析への適性を保証すること。
• 実補間および複素補間ファンクターを用いて、ソボレフ空間、ベッセル潜在力空間、ベソフ空間といった異なる関数空間スケールを統一すること。
• 境界値問題および初期値問題の文脈において、埋め込み定理および密度に関する結果を提供すること。

提案手法

• 時間的および空間的正則性と重み $ \rho^\nu $ を組み合わせたノルムを用いて、非等方的加重ソボレフ空間 $ W_{p}^{kr/\to{r},\to{\boldsymbol{\boldsymbol{\boldsymbol{\boldsymbol{\nu}}}}}} $ を定義する。ここで $ \to{r} = (1, 1/r) $ および $ \to{\boldsymbol{\boldsymbol{\nu}}} = (\nu, \nu) $ である。
• 同型写像による反射的バナッハ空間への埋め込みを用いて、$ W_{p}^{kr/\to{r},\to{\boldsymbol{\boldsymbol{\nu}}}} $ の再帰的性を確立する。
• 実補間を用いて分数階空間を定義する：$ F^{s/\to{r},\to{\boldsymbol{\nu}}} = (W_{p}^{kr/\to{r},\to{\boldsymbol{\nu}}}, W_{p}^{(k+1)r/\to{r},\to{\boldsymbol{\nu}}})_{(s-kr)/r} $（$ kr < s < (k+1)r $）。
• 双対性を用いて負の階数空間を定義する：$ F^{-s/\to{r},\to{\boldsymbol{\nu}}} = ( \ring{F}^{p'\text{ }s/\to{r},-\to{\boldsymbol{\nu}}}(J,V') )' $、双対ペアリング $ \bigl\bra{u,v}\bigr\rangle_{M\times J} $ を用いる。
• 再帰定理および $ \ring{D}(J, \ring{D}) $ が $ L_p(J, L_p^\nu) $ に密に埋め込まれることを用いて、埋め込み鎖および補間恒等式を証明する。
• 複素補間および実補間ファンクターを適用し、整数 $ k $ に対して $ H_p^{s/\to{r},\to{\boldsymbol{\nu}}} \doteq W_p^{kr/\to{r},\to{\boldsymbol{\nu}}} $ であり、$ B_2^{s/\to{r},\to{\boldsymbol{\nu}}} \doteq H_2^{s/\to{r},\to{\boldsymbol{\nu}}} $ であることを示し、スケールの等価性を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 特異的多様体上での時刻に依存するテンソル場に対して、非等方的加重ソボレフ空間はどのように定義可能か？
• RQ2 これらの非等方的関数空間の双対性および再帰的性とは何か？
• RQ3 この非等方的・加重設定下で、ベッセル潜在力空間およびベソフ空間はソボレフ空間とどのように関係するか？
• RQ4 これらの関数空間の埋め込みおよび補間性質は、異なる正則性および重みパラメータの下でどのように成立するか？
• RQ5 $ \ring{F}_p^{s/\to{r},\to{\boldsymbol{\nu}}} $ が $ F_p^{s/\to{r},\to{\boldsymbol{\nu}}} $ と一致する条件は何か、そしてトレース空間およびトレース自由空間への影響は何か？

主な発見

• 非等方的加重ソボレフ空間 $ W_p^{kr/\to{r},\to{\boldsymbol{\nu}}} $ は、反射的バナッハ空間の閉部分空間に同型写像を介して埋め込まれるため、反射的バナッハ空間である。
• 等価ノルムは $ \|u\|_{kr/\to{r},p;\to{\boldsymbol{\nu}}}^{\sim} = \left( \|u\|_{L_p(J,W_p^{kr,\lambda})}^p + \sum_{j=0}^k \|\partial^j u\|_{L_p(J,W_p^{(k-j)r,\lambda + j\mu})}^p \right)^{1/p} $ で与えられ、ノルムの等価性が保証される。
• $ \ring{D}(J,\ring{D}) $ は $ W_p^{kr/\to{r},\to{\boldsymbol{\nu}}} $ に強く埋め込まれており、PDE理論への適性が裏付けられる。
• 整数 $ k $ に対して、ベッセル潜在力空間 $ H_p^{s/\to{r},\to{\boldsymbol{ν}}}} $ はソボレフ空間 $ W_p^{kr/\to{r},\to{\boldsymbol{ν}}}} $ と一致し、$ B_2^{s/\to{r},\to{\boldsymbol{ν}}}} \doteq H_2^{s/\to{r},\to{\boldsymbol{ν}}}} $ が成り立つ。これはスケールの一貫性を示している。
• 補間恒等式が成り立つ：$ (B_p^{s_0/\to{r},\to{\boldsymbol{\nu}}}, B_p^{s_1/\to{r},\to{\boldsymbol{\nu}}}})_{\theta,p} \doteq B_p^{s_\theta/\to{r},\to{\boldsymbol{\nu}}}} $ および $ [F_p^{s_0/\to{r},\to{\boldsymbol{\nu}}}, F_p^{s_1/\to{r},\to{\boldsymbol{\nu}}}}]_{\theta} \doteq F_p^{s_\theta/\to{r},\to{\boldsymbol{\nu}}}} $。これにより、スケールの安定性が確認される。
• 境界 $ \partial M \neq \emptyset $ のとき $ s < 1/p $、または $ \partial M = \emptyset $ かつ $ J = \mathbb{R}^+ $ のとき $ s < r(1+1/p) $ ならば、空間 $ \ring{F}_p^{s/\to{r},\to{\boldsymbol{\nu}}}} $ は $ F_p^{s/\to{r},\to{\boldsymbol{\nu}}} $ と一致する。これにより、密度および正則性が保証される。