[論文レビュー] Anisotropic mesh adaptation in Firedrake with PETSc DMPlex

Nicolas Barral, Matthew G. Knepley+3 more|arXiv (Cornell University)|Oct 31, 2016

Computational Fluid Dynamics and Aerodynamics参考文献 8被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、PETSc DMPlex および Pragmatic ライブラリを用いて、Firedrake における異方性メッシュ適応の統合フレームワークを提示する。これにより、数値拡散を低減した効率的で自動化された時間依存 PDE の解法が可能になる。本手法は、25 個の時間部分区間を経てたった 50 個の適応メッシュを用いて 3D の対流テストケースで高い精度を達成し、1 コアでのシングルスレッド実行時間は 32 時間であった。

ABSTRACT

Despite decades of research in this area, mesh adaptation capabilities are still rarely found in numerical simulation software. We postulate that the primary reason for this is lack of usability. Integrating mesh adaptation into existing software is difficult as non-trivial operators, such as error metrics and interpolation operators, are required, and integrating available adaptive remeshers is not straightforward. Our approach presented here is to first integrate Pragmatic, an anisotropic mesh adaptation library, into DMPlex, a PETSc object that manages unstructured meshes and their interactions with PETSc's solvers and I/O routines. As PETSc is already widely used, this will make anisotropic mesh adaptation available to a much larger community. As a demonstration of this we describe the integration of anisotropic mesh adaptation into Firedrake, an automated Finite Element based system for the portable solution of partial differential equations which already uses PETSc solvers and I/O via DMPlex. We present a proof of concept of this integration with a three-dimensional advection test case.

研究の動機と目的

• 既存の PDE ソルバーにおける異方性メッシュ適応の使いやすさと統合性の欠如を是正すること。
• PETSc DMPlex のメッシュ管理機能を活用することで、Firedrake のようなハイレベルな有限要素フレームワークへのメッシュ適応のシームレスな統合を可能にすること。
• 誤差に基づくメトリック計算、メッシュ生成、解の移行を含む、一連のトランスジェネリックな異方性メッシュ適応のパイプラインを実証すること。
• 今後の高次有限要素や並列実行への拡張を可能にするために、Firedrake 内でのメッシュ適応の完全自動化の基盤を構築すること。

提案手法

• 本手法は、25 個の時間部分区間に分割されたシミュレーションを対象とするグローバル固定点適応アルゴリズムを用い、各時間区間で解のヘッセ行列を用いて誤差メトリックを計算する。
• 解のヘッセ行列から得られるメトリック場を正規化し、Pragmatic ライブラリを介して異方性メッシュ適応を誘導する。
• DMPlex は非構造的メッシュ表現を管理し、PETSc ソルバーや I/O とのシームレスなインターフェースを可能にする。一方、Pragmatic は局所的メッシュ最適化を実行し、細分化、粗化、スイッチング、スムージングを実施する。
• 解のメッシュ間移行は、Firedrake の組み込みのラグランジュ $P^1$ 有限要素補間を用いた点評価と線形補間によって実行される。
• 全ワークフローは Firedrake で制御され、変分形式が効率的な並列コードにコンパイルされ、解法とメッシュ管理のための PETSc とインターフェースを確立する。
• 本手法は、対流支配問題における安定性と精度を維持するため、Crank-Nicolson 時間離散化と SUPG ステービライゼーションを用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Firedrake のようなハイレベルな有限要素フレームワークに、異方性メッシュ適応を効果的かつ透明に統合できるか？
• RQ2 誤差メトリック計算、メッシュ適応、解の移行という複雑なパイプラインをどのように自動化し、スケーラブルにできるか？
• RQ3 DMPlex、Pragmatic、Firedrake の組み合わせが、挑戦的な 3D 時間変動対流問題において、正確で低拡散の解を得られるか？
• RQ4 このメッシュ適応パイプラインを直列実行した場合の計算コストとスケーラビリティはどの程度か？

主な発見

• 本フレームワークは、3D 対流問題において 25 個の時間部分区間を経てたった 50 個の適応メッシュを用いて、トランスジェネリック PDE の完全な異方性メッシュ適応パイプラインを実装した。
• 解は極めて低い数値拡散を示し、複数の時間ステップにおける等値面可視化によって、対流フロントの鋭い解像度が確認された。
• 1 コアでの実行時間は 32 時間で、現在の完全並列化の欠如にもかかわらず、本手法の効率性が裏付けられた。
• メッシュ適応プロセスにより、流れに沿った帯状の異方性要素が生成され、効果的なメトリック駆動型の細分化が実現された。
• Pragmatic を DMPlex に統合することで、メトリック場から 1 回のコールでメッシュ適応が可能になり、PETSc ユーザーにとってのワークフローが著しく簡素化された。
• 本手法は高次有限要素へも拡張可能であり、今後の作業で Supermesh ライブラリを用いて解の移行を改善する計画である。