[論文レビュー] Anisotropic Sobolev spaces and dynamical transfer operators: C^infty foliations

Viviane Baladi|arXiv (Cornell University)|Aug 31, 2004

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 11被引用数 32

ひとこと要約

本稿は、$C^\infty$ 細分岐を持つ $C^\infty$ Anosov微分同相写像に関連する転送作用素の本質的スペクトル半径に対する鋭い上界を、非一様Sobolev空間を用いて確立する。スペクトル半径は、リャプノフ指数とヤコビアン成長に関連する力学的量によって制御され、Kitaevの動的デターミナントに関する結果を拡張し、SRB測度の混合率を理解するための枠組みを提供する。

ABSTRACT

We consider a smooth Anosov diffeomorphism with a smooth dynamical foliation. We show upper bounds on the essential spectral radius of its transfer operator acting on anisotropic Sobolev spaces. (Such bounds are related to the essential decorrelation rate for the SRB measure.) We compare our results to the estimates of Kitaev on the domain of holomorphy of dynamical Fredholm determinants for differentiable dynamics.

研究の動機と目的

• コンパクト多様体上の$C^\infty$ Anosov微分同相写像に関連する転送作用素$\mathcal{L}$および$\mathcal{M}$のスペクトル性質を解析すること。
• これらの作用素が非一様Sobolev空間上で作用する際の本質的スペクトル半径に対する鋭い上界を確立すること。
• これらの上界が、双曲性およびヤコビアン成長率を符号化する力学的量$\rho^{(p,s)}_{\infty}(T)$とどのように関係するかを明らかにすること。
• Kitaevの動的デターミナントの正則領域に関する結果を、Banach空間上での転送作用素のスペクトル理論へ拡張すること。
• 滑らかな力学系におけるスペクトル的手法を用いて、SRB測度の相関関数の崩壊率を理解するための枠組みを提供すること。

提案手法

• 本稿は、Anosov系の安定・不安定方向に適合した、$L^t$-可積分性に基づく非一様Sobolev空間$W^{p,s-p,t}({\mathcal{X}})$を構築する。
• 記号的計算アプローチと微局所解析技術を組み合わせ、特に安定または不安定な細分岐の滑らかさを活用する。
• 歪みの境界と、転送作用素を含む合成関数の微分に関するライブニッツ型公式を用いて、主要な推定を行う。
• 作用素のノルムを制御するため、ヤコビアン$|\det DT|$を含む重みを備えた、非一様ノルムに適合した修正版のLasota-Yorke不等式に依拠する。
• 安定または不安定な細分岐が$C^\infty$であることから、反復による微分の成長を精密に制御できることを応用する。
• 特に$\mathcal{L}_t$および$\mathcal{M}_t$のケースでは、ライブニッツ公式の精密化とヤコビアンの微分に関する推定を用いて、作用素ノルムを制御する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 安定な細分岐が$C^\infty$である場合、非一様Sobolev空間上での転送作用素$\mathcal{L}$の本質的スペクトル半径はどのように振る舞うか？
• RQ2 これらのスペクトル上界は、反復による双曲性およびヤコビアン成長率を測る量$\rho^{(p,s)}_{\infty}(T)$とどのように関係するか？
• RQ3 体積保存でないAnosov系に対しても、スペクトル半径に関する結果を拡張可能か？また、$t \to \infty$ の極限における本質的スペクトル半径の振る舞いは？
• RQ4 滑らかな細分岐の仮定が鋭いスペクトル推定を可能にする役割は何か？
• RQ5 Kitaevの動的デターミナントの正則領域に関する推定と比較して、これらの結果はどのように異なるか？

主な発見

• $C^\infty$ Anosov微分同相写像で、安定な細分岐が$C^\infty$である場合、$T$ が体積保存であるとき、$W^{p,s-p,t}({\mathcal{X}})$ 上での$\mathcal{L}$の本質的スペクトル半径は、すべての$p<0$、$s>0$、$t \in (1,\infty)$ に対して$\rho^{(p,s)}_{\infty}(T)$以下である。
• $T$ が体積保存でない場合、$t \to \infty$ における本質的スペクトル半径の上縁は$\rho^{(p,s)}_{\infty}(T)$で抑えられる。
• 不変な細分岐が$C^\infty$である場合、$\mathcal{M}$の本質的スペクトル半径は、$W^{p,s-p,t}({\mathcal{X}},T^{-1})$ 上で$\lim_{n\to\infty}\sup_{\mathcal{X}}|\det DT^{n}|^{-(t-1)/tn}\cdot\rho^{(-s,-p)}_{\infty}(T)$で抑えられる。
• 本稿は、$\rho^{(p,s)}_1(T)$ に関連する上界を提供し、$\limsup_{t\to\infty}\rho_{\text{ess}}({\mathcal{L}}|_{W^{p,s-p,t}}) \leq \lim_{n\to\infty}\|\det DT^{n}|_{E^{u}}\|_{L^{\infty}}^{1/n}\rho^{(p,s)}_1(T)$ を示している。
• $\mathcal{L}_t$および$\mathcal{M}_t$の修正作用素に対しては、$t$ と細分岐の正則性に関する適切な条件下で、本質的スペクトル半径が$\rho^{(p,s)}_{\infty}(T)$で抑えられる。
• 結果は鋭く、SRB測度の期待される相関関数の崩壊率と一致しており、H\
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