[論文レビュー] Anisotropy-based optimal filtering in linear discrete time invariant systems

Igor G. Vladimirov|arXiv (Cornell University)|Dec 9, 2014

Target Tracking and Data Fusion in Sensor Networks参考文献 5被引用数 12

ひとこと要約

本稿は、歪みの平均アノスィトロピーが有界である条件下で、最悪ケースの誤差対ノイズRMS比を最小化する線形離散時間不変システムのa-非等方的最適フィルタリングフレームワークを提案する。解はカルマンフィルタ構造を保ちながら、連立代数リカチ方程式と行列式制約を解く必要があるが、a=0では標準カルマンフィルタに、a→∞ではH∞最適推定器に還元される。

ABSTRACT

This paper is concerned with a problem of robust filtering for a finite-dimensional linear discrete time invariant system with two output signals, one of which is directly observed while the other has to be estimated. The system is assumed to be driven by a random disturbance produced from the Gaussian white noise sequence by an unknown shaping filter. The worst-case performance of an estimator is quantified by the maximum ratio of the root-mean-square (RMS) value of the estimation error to that of the disturbance over stationary Gaussian disturbances whose mean anisotropy is bounded from above by a given parameter $a \ge 0$. The mean anisotropy is a combined entropy theoretic measure of temporal colouredness and spatial "nonroundness" of a signal. We construct an $a$-anisotropic estimator which minimizes the worst-case error-to-noise RMS ratio. The estimator retains the general structure of the Kalman filter, though with modified state-space matrices. Computing the latter is reduced to solving a set of two coupled algebraic Riccati equations and an equation involving the determinant of a matrix. In two limiting cases, where $a = 0$ or $a o +\infty$, the $a$-anisotropic estimator leads to the standard steady-state Kalman filter or the $H_{\infty}$-optimal estimator, respectively.

研究の動機と目的

• 歪みのスペクトル特性に不確実性が存在する線形離散時間不変システムに対するロバストなフィルタリングフレームワークの開発。
• 定常ガウスノイズの平均アノスィトロピーを制限するa-非等方的ノルムを用いて、最悪ケースの推定誤差性能を定量化すること。
• このアノスィトロピー制約下で、最悪ケースの誤差対ノイズRMS比を最小化する最適推定器の導出。
• 提案されたa-非等方的推定器と、極限ケースにおける既存のフィルタリングパラダイム（カルマンフィルタおよびH∞フィルタリング）との関係の確立。
• 実装のための計算フレームワークとして、連立代数リカチ方程式と行列式方程式に基づく提供。

提案手法

• 歪みの平均アノスィトロピーがパラメータa ≥ 0で有界であることを前提とした確率的ミニマックス最適化問題としてフィルタリング問題を定式化。
• a-非等方的ノルムを、平均アノスィトロピー ≤ a を満たすすべての定常ガウスノイズに対して、誤差対ノイズRMS比の最大値として定義。
• 最適推定器の構造を、更新されたダイナミクスを持つ状態空間フィルタとして導出。カルマンフィルタに類似した構造だが、修正されたゲイン行列を用いる。
• 最適ゲインの計算を、2つの連立離散時間代数的リカチ方程式（DARE）と行列式方程式の解法に還元。
• DARE解のパラメータ依存性の滑らかさと行列ベクトル化技術を活用し、数値的実装に適したホモトピー法を導入。
• 最適推定器がミニマックス問題において鞍点条件を満たすことを確立し、最悪ケースの非等方的ノイズ下でのロバスト性を保証。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 歪みのスペクトル特性が不確実な線形離散時間不変推定器の最悪ケース性能をどのように定量化できるか？
• RQ2 平均アノスィトロピーが有界である制約下で、最大誤差対ノイズRMS比を最小化する最適推定器の構造は何か？
• RQ3 極限ケース（a=0およびa→∞）において、a-非等方的推定器は標準カルマンフィルタおよびH∞最適推定器とどのように関係するか？
• RQ4 a-非等方的推定器の最適状態空間行列（ゲイン）を支配する方程式系は何か？
• RQ5 非線形方程式系を効率的かつ安定に解くための数値的アルゴリズムを構築可能か？

主な発見

• a-非等方的最適推定器は、カルマンフィルタの一般構造を保ちつつ、ミニマックス最適化から導かれた修正された状態空間行列を用いる。
• 最適ゲイン行列は、2つの連立離散時間代数的リカチ方程式（DARE）と行列式制約方程式の解法により得られる。
• a=0の極限では、a-非等方的推定器は標準ステディステートカルマンフィルタに還元され、等方的パワーを持つ白色ガウスノイズに対応する。
• a→∞の極限では、推定器はH∞最適推定器に収束し、すべての有界エネルギー歪みに対して最悪ケースゲインを最小化する。
• 誤差演算子のa-非等方的ノルムは、連立リカチ方程式の解の最大固有値の平方根として与えられる。
• ホモトピー法を用いることで、DARE解のパラメータ依存性の滑らかさと行列ベクトル化技術を活用し、方程式系の数値的解法が可能となる。