[論文レビュー] Annealed invariance principle for random walks on random graphs generated by point processes in $\mathbb{R}^d$

Arnaud Rousselle|arXiv (Cornell University)|Jun 18, 2015

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 28被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、$ \mathbb{R}^d$ 内の点過程から構築されたランダム幾何グラフ（例えばデローラン三角形分割、ガブリエル図、クリーク・クロッシング図など）上の連続時間単純無作為歩道に対して、焼きなまし不変原理を確立する。基礎となる点過程にやや弱いモーメント条件および混合性条件が課された下で、環境を平均化した測度の下で、スケーリングされた歩道はブラウン運動に収束する。この結果は、環境にマーキングされた粒子過程とマルコフ埋め込み技法を用いることで得られる。

ABSTRACT

We consider simple random walks on random graphs embedded in $\mathbb{R}^d$ and generated by point processes such as Delaunay triangulations, Gabriel graphs and the creek-crossing graphs. Under suitable assumptions on the point process, we show an annealed invariance principle for these random walks. These results hold for a large variety of point processes including Poisson point processes, Matérn cluster and Matérn hardcore processes which have respectively clustering and repulsiveness properties. The proof relies on the use the process of the environment seen from the particle. It allows to reconstruct the original process as an additive functional of a Markovian process under the annealed measure.

研究の動機と目的

• 連続時間単純無作為歩道が $ \mathbb{R}^d$ 内のランダム幾何グラフ上で焼きなまし不変原理を確立すること。
• クラスタリング（マテルンクラスタ）や反発（マテルンハードコア）を示す多様な点過程から生成される幾何グラフに対しても不変原理を拡張すること。
• 環境から粒子を見る枠組みを用いて、幾何グラフ上の無作為歩道の解析を統一すること。
• 定常的で、混合的で、周期的でない点過程の広いクラスに対して、スケーリング極限を検証すること。
• 格子に基づかないモデルに応用可能な、環境を平均化した測度の下での拡散極限を示す一般枠組みを提供すること。

提案手法

• 元の歩道を加法的関数として再構成できるマルコフ過程を、環境から粒子を見る枠組みを用いて構築する。
• 環境を平均化した測度を、点過程の実現と歩道経路の半直接積測度として用いる。
• 連続時間歩道の定義に生成子 $ \mathcal{L}^{\xi^0}f(y) = \sum_{z \in \xi^0} \mathbf{1}_{\{\{y,z\} \in E_{G(\xi^0)}\}} (f(z) - f(y))$ を用い、指数分布の停止時間を導入する。
• フェラー＝マイヤー＝マイヤー＝ヴァイナーバーガー（FMW）アプローチと、環境を平均化した測度の下でのマルティンゲール関数中央極限定理を適用する。
• スケーリングされた過程の収縮性と爆発の回避を保証するため、次数分布に対するモーメント条件を確立する。
• 原点が点過程に含まれることを条件づけるパンル版 $ \mathcal{P}_0$ を用い、定常性および混合性の議論を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 連続時間単純無作為歩道がランダム幾何グラフ上で焼きなましスケーリング極限をとるとき、それはブラウン運動に収束するか？
• RQ2 マテルンクラスタやハードコア過程といった、クラスタリングや反発を示す点過程から生成される幾何グラフに対しても、不変原理を拡張できるか？
• RQ3 環境から粒子を見るとき、マルコフ過程が得られ、関数中央極限定理が適用可能になるような点過程の条件は何か？
• RQ4 定常性、混合性、非周期性、および有限次数モーメントといった仮定が、焼きなまし不変原理の有効性にどのように影響するか？
• RQ5 デローラン図、ガブリエル図、クリーク・クロッシング図といった複数の幾何グラフ構成を、共通の解析的枠組みで扱えるか？

主な発見

• 適切なモーメント条件および混合性条件の下で、デローラン三角形分割、ガブリエル図、クリーク・クロッシング図上の無作為歩道に対して焼きなまし不変原理が成立する。
• 環境を平均化した測度の下で、スケーリングされた無作為歩道は $ \mathbb{R}^d$ 内のブラウン運動に弱収束する。制限された仮定のもとで、極限の拡散行列は非退化である。
• 結果はポアソン点過程、マテルンクラスタ過程、マテルンハードコア過程に適用可能であり、いずれも必要なモーメントおよび構造的条件を満たす。
• 点過程の2次の階乗モーメント測度は、$(2d)$ 次元のルベーグ測度に関して絶対連続であり、中央極限定理に必要な十分な混合性を保証する。
• $\mathcal{P}_0$ の下で、原点の次数はすべての順序の多項式モーメントを持つため、連続時間歩道の爆発が回避される。
• 環境から粒子を見るアプローチにより、元の過程が環境を平均化した測度の下でマルコフ過程の加法的関数として表現可能となり、マルティンゲール中心極限定理の適用が可能になる。