[論文レビュー] Annihilating fields of standard modules of sl(2,C)~ and combinatorial identities

Arne Meurman, Mirko Primc|ArXiv.org|Jun 19, 1998

Advanced Mathematical Identities被引用数 98

ひとこと要約

本稿は、$\tilde{\frak{sl}}(2,\bbC)$ のアフィンリー代数に対して頂点作用素代数を構成し、レベル $k = k_0 + k_1$ の標準的モジュールの消滅場を特定する。これらのモジュールの基底を差分条件および初期条件を満たす色付き分割でパラメータライズすることにより、Rogers-Ramanujan型の新しい組合せ的恒等式を導出し、頂点代数的構造を通じて表現論と分割恒等式の直接的な関係を確立する。

ABSTRACT

We show that a set of local admissible fields generates a vertex algebra. For an affine Lie algebra $ ilde\goth g$ we construct the corresponding level $k$ vertex operator algebra and we show that level $k$ highest weight $ ilde\goth g$-modules are modules for this vertex operator algebra. We determine the set of annihilating fields of level $k$ standard modules and we study the corresponding loop $ ilde\goth g$ module---the set of relations that defines standard modules. In the case when $ ilde\goth g$ is of type $A_1^{(1)}$, we construct bases of standard modules parameterized by colored partitions and, as a consequence, we obtain a series of Rogers-Ramanujan type combinatorial identities.

研究の動機と目的

• アフィンリー代数 $\tilde{\frak{sl}}(2,\bbC)$ の任意のレベル $k$ における頂点作用素代数構造を構成すること。
• レベル $k = k_0 + k_1$ の標準的 $\tilde{\frak{sl}}(2,\bbC)$-モジュールにおける関係を定義する消滅場の集合を特定すること。
• 差分条件および初期条件を満たす色付き分割を用いて、標準的モジュールの組合せ的基底を構成すること。
• 標準モジュール $L(\tilde{\frak{sl}}(2,\bbC), \tilde{\frak{g}})$ の特性の2通りの表現を等置することにより、新しいRogers-Ramanujan型の組合せ的恒等式を導出すること。

提案手法

• 負部分代数 $\tilde{\frak{n}}_-$ の普遍包あらわし代数を用いて、局所的アドミッスブル場の集合から頂点作用素代数を構成する。
• $\bar{B} = \{x(n), h(n), y(n) \mid n \in \bbZ\}$ の基底元に線形順序 $\preccurlyeq$ を定義し、$U(\tilde{\frak{g}})$ 内の単項式を整理する。
• 各部が色（$x,h,y$）と次数 $n$ を持つように、$\pi: \bar{B} \to \bbN$ として色付き分割を定義する。
• 基底となる展開集合が得られるように、$\pi$ に差分条件（例：$\pi(y(j-1)) + \pi(h(j-1)) + \pi(y(j)) \leq k$）を課す。
• 頂点作用素の公式 $X(z) = E^-(z)E^+(z)E^0(z)$ を用いて、レベル $k$ モジュールにおける作用を関係づけ、基底ベクトル間の関係を導出する。
• 2通りの方法で特性 $\operatorname{ch} L(\Lambda)$ を比較する：1つはLepowsky-Wakimotoの積公式によるもの、もう1つは差分条件および初期条件によって定義される分割イデアルによるもの。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 標準的モジュールのレベル $k$ における $\tilde{\frak{sl}}(2,\bbC)$ の関係を定義する消滅場の完全な集合は何か？
• RQ2 差分条件および初期条件を満たす色付き分割を用いて、標準的モジュール $L(\Lambda)$ の基底をどのように構成できるか？
• RQ3 頂点作用素の積公式による $L(\Lambda)$ の特性の表現と、分割イデアルによる表現を等置することにより、どのような組合せ的恒等式が生じるか？
• RQ4 特性の公式ではなく、頂点代数的技法を用いて、色付き分割によってパラメータライズされた基底ベクトルの線形独立性を証明できるか？
• RQ5 $\tilde{\frak{sl}}(2,\bbC)$ の特性の公式の $(s_0,s_1)$-特殊化から、新しいRogers-Ramanujan型の恒等式が現れるか？

主な発見

• 差分条件5つおよび初期条件2つを満たす $\pi \in \mathcal{P}(\bar{B}_-)$ に対する $u(\pi) \cdot v_0$ の集合は、レベル $k = k_0 + k_1$ の標準的モジュール $L(\Lambda)$ の基底をなす。
• 主特殊化 $s = (1,1)$ の場合、特性 $d^{1,1}_{k_0,k_1}(q)$ は、$\pi_{\underline{2i+1}} + \pi_{2i+1} + \pi_{2i} \leq k$ を満たす色付き分割の母関数に等しく、$\pi_{\underline{1}} \leq k_0$、$\pi_1 \leq k_1$ を満たす。これにより、新しいRogers-Ramanujan型恒等式が得られる。
• $(1,2)$-特殊化で $k_0 = k_1 = n-1$ の場合、$f_j > 0$ となる $j$ が $j \not\equiv 0 \mod{n}$ のみであるような分割の数は、$f_{3j+2} + f_{3j+1} + f_{3j} \leq 2n-2$ などを満たす分割の数に等しく、$f_1 \leq n-1$、$f_2 \leq n-1$ を満たす。これにより新しい恒等式が得られる。
• $s = (1,2)$、$k_0 = k_1 = n-1$ の組合せ的恒等式は、$A_2^{(2)}$ 型のレベル3モジュールの恒等式と一致し、異なるアフィンリー代数表現の間の深い関係を示している。
• $s = (1,1)$、$k_0 = 1$、$k_1 = 2$ の場合、$\{\underline{i} \mid i \text{ 奇数}\} \cup \{i \mid i \equiv \pm1 \mod{5}\}$ に属する部分を持つ色付き分割の数は、4つの差分不等式および $\pi_{\underline{1}} \leq 1$、$\pi_1 \leq 2$ を満たす分割の数に等しく、モジュラー制約を伴う新しい恒等式が得られる。
• 基底の線形独立性は、頂点作用素の公式と特性の比較により証明されており、Weyl-Kacの公式やRogers-Ramanujan恒等式を事前に入力として用いることなく示されている。