[論文レビュー] Annotation-Free Sequent Calculi for Full Intuitionistic Linear Logic -- Extended Version

Ranald Clouston, Jeremy E. Dawson+2 more|arXiv (Cornell University)|Jul 1, 2013

Logic, programming, and type systems参考文献 22被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、含意の双対である排他接続子を備えた双直感的線形論理（BiILL）に拡張することで、注釈を不要とする表示計算と、カットを含まないネストドシーケント計算を、完全直感的線形論理（FILL）に対して提示する。このアプローチにより、複雑な注釈を避けつつFILLの意味論を保ちながら、カット除去、部分公式性、および帰納的証明可能性のNP完全性を保証する。

ABSTRACT

Full Intuitionistic Linear Logic (FILL) is multiplicative intuitionistic linear logic extended with par. Its proof theory has been notoriously difficult to get right, and existing sequent calculi all involve inference rules with complex annotations to guarantee soundness and cut-elimination. We give a simple and annotation-free display calculus for FILL which satisfies Belnap's generic cut-elimination theorem. To do so, our display calculus actually handles an extension of FILL, called Bi-Intuitionistic Linear Logic (BiILL), with an `exclusion' connective defined via an adjunction with par. We refine our display calculus for BiILL into a cut-free nested sequent calculus with deep inference in which the explicit structural rules of the display calculus become admissible. A separation property guarantees that proofs of FILL formulae in the deep inference calculus contain no trace of exclusion. Each such rule is sound for the semantics of FILL, thus our deep inference calculus and display calculus are conservative over FILL. The deep inference calculus also enjoys the subformula property and terminating backward proof search, which gives the NP-completeness of BiILL and FILL.

研究の動機と目的

• FILLにおける長年の証明論的課題を解決すること。既存のシーケント計算では、カット除去と整合性を保つために複雑な注釈が必要である。
• 注釈付きシステムの制限を克服すること。注釈付きシステムは論理的構造を曇らせ、計算的意味を欠く。
• FILLが、排他的接続子を備えたバランスの取れた論理である双直感的線形論理（BiILL）に、保存的埋め込み可能であることを示すこと。
• 表示計算とネストドシーケントを用いて、FILLのカットを含まず、注釈を不要とする証明体系を構築し、部分公式性と効率的な証明探索を保証すること。
• 構造的証明論的分析を通じて、FILLおよびBiILLのトートロジー問題のNP完全性を確立すること。

提案手法

• 含意の双対である排他接続子 $\leftY$ を導入することで、FILLを双直感的線形論理（BiILL）に拡張する。$\parr$ との随伴関係により定義される。
• 標準的な表示計算の手法を用いて、BiILLの表示計算 $\mathrm{BiILL}_{\mathrm{dc}}$ を構築する。Belnapの汎用的カット除去定理を継承する。
• 表示計算を、深さ優先のインファレンスを有するカットを含まないネストドシーケント計算に精錬する。構造的規則は帰納的となる。
• FILLの論理式に対する深さ優先のインファレンス計算における証明が、排他接続子の痕跡を一切含まないことを証明し、FILLへの保存的埋め込みを確認する。
• 深さ優先のインファレンス計算における部分公式性と、後退的証明探索の停止性を確立し、帰納的証明可能性のNP完全性を導く。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 FILLの健全かつ完全なシーケント計算を、複雑な注釈を一切用いずに、カット除去と部分公式性を保ちつつ構築可能か？
• RQ2 既存の注釈付きFILL計算の証明論的欠陥（非局所的規則適用、計算的意味の欠如）は、どのように克服できるか？
• RQ3 FILLの双対接続子（排他）による保存的拡張は、一様でバランスの取れた証明体系を可能にするか？
• RQ4 表示計算の手法をBiILLに適用することで、FILLのカットを含まず、注釈を不要とする体系を構築可能か？
• RQ5 FILLおよびその拡張であるBiILLのトートロジー問題の複雑さはいかほどか？

主な発見

• 本稿では、BiILLの健全かつ完全な注釈を不要とする表示計算を構築し、Belnapの汎用的定理によりカット除去を継承する。
• BiILLの深さ優先のインファレンスネストドシーケント計算は、カットを含まず、部分公式性を満たしており、効率的な後退的証明探索を可能にする。
• 深さ優先のインファレンス計算におけるFILL論理式の証明は、排他接続子の痕跡を一切含まないため、FILLへの保存的埋め込みが確認される。
• FILLおよびBiILLのトートロジー問題がNP完全であることが、多項式時間の証明検証およびCOMLLの符号化によるNP困難性により証明される。
• 本アプローチにより、FILLは証明論的に病理的ではなく、表示計算手法が適用可能な広範な論理の族に属するものであることが示された。