[論文レビュー] Anomalies in Quantum Field Theory and Cohomologies of Configuration Spaces

Nikolay Nikolov|ArXiv.org|Mar 2, 2009

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 16被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、量子場理論における異常と順序付き配置空間のde Rhamコホモロジーを結びつけるコホモロジー的枠組みを確立し、再生化の不確かさがHochschild 1-コサイクルによって支配されることを示している。再生化コサイクルの微分方程式を導出し、滑らかで温度に依存する関数の途中の微分拡張上でホモトピー作用素を用いた幾何的アプローチにより、再生化群作用の計算を提案する。

ABSTRACT

In this paper we study systematically the Euclidean renormalization in configuration spaces. We investigate also the deviation from commutativity of the renormalization and the action of all linear partial differential operators. This deviation is the source of the anomalies in quantum field theory, including the renormalization group action. It also determines a Hochschild 1-cocycle and the renormalization ambiguity corresponds to a nonlinear subset in the cohomology class of this renormalization cocycle. We show that the related cohomology spaces can be reduced to de Rham cohomologies of the so called "(ordered) configuration spaces". We find cohomological differential equations that determine the renormalization cocycles up to the renormalization freedom. This analysis is a first step towards a new approach for computing renormalization group actions. It can be also naturally extended to manifolds as well as to the case of causal perturbation theory. (This paper is based on previous preprint arXiv:0712.2194, but it has been entirely re-written and various new results are included.)

研究の動機と目的

• 摂動的QFTにおける再生化の不確かさのコホモロジー的記述を構築すること。
• 異常発生の原因を、再生化と線形微分作用素との非可換性のずれとして同定すること。
• 再生化のコホモロジー的構造を、順序付き配置空間のde Rhamコホモロジーに還元すること。
• 再生化コサイクルを再生化自由度まで決定する微分方程式を定式化すること。
• QFTにおける再生化群作用の代数的・幾何的計算の基盤を築くこと。

提案手法

• ユークリッド配置空間におけるフィルトレーションと一次的再生化写像を用いて、再生化写像を形式化する。
• 再生化と微分作用素とのずれをHochschild 1-コサイクルとして特定する。
• n > 2 の場合に、$\mathcal{F}_n \cong \mathbb{R}^D \setminus \{0\}$ における順序付き配置空間上のde Rhamコホモロジーに、コホモロジー方程式を還元する。
• コホモロジー方程式の代数的解釈を可能にするために、中間の微分拡張 $\widetilde{\mathcal{O}}_n \subseteq \mathcal{C}^\infty_{\text{temp}}(\mathcal{F}_n)$ を導入する。
• コホモロジー方程式を解くために、$\widetilde{\mathcal{O}}_n$ 上で $K_n \circ d + d \circ K_n = \text{id}$ を満たすホモトピー作用素 $K_n$ を提案する。
• 非同次項 $\mathcal{F}_n$ を用いて、$\Gamma_n = \mathcal{F}_n \circ K_n$ としてコホモロジー方程式の解を構成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 QFTにおける異常を、配置空間上のコホモロジー的構造を用いて体系的に記述する方法は何か？
• RQ2 再生化と微分作用素との非可換性のずれと異常発生との間の明確な関係は何か？
• RQ3 配置空間上のコホモロジー方程式を通じて、再生化群作用を代数的に計算できるか？
• RQ4 どの中間の微分拡張 $\widetilde{\mathcal{O}}_n$ が、$n > 2$ の場合に $H^{D(n-1)-1}$ の自明性と同時に代数的解釈を可能にするか？
• RQ5 再生化コサイクルを支配するコホモロジー方程式を解くために、どのようにホモトピー作用素を構成できるか？

主な発見

• 再生化が線形微分作用素と可換でないことに起因するずれは、Hochschild 1-コサイクルを生成し、これが異常構造を符号化する。
• 再生化の不確かさは、このコサイクルのコホモロジー類内の非線形部分集合によってパrameter化される。
• $n > 2$ の場合、$H^{D(n-1)-1}(\mathcal{F}_n)$ は自明であるため、コホモロジー方程式が再生化コサイクルを完全に決定する。
• コホモロジー方程式は、順序付き配置空間上のde Rhamコホモロジーに還元され、幾何的解釈が可能になる。
• コホモロジー方程式の解は、$\Gamma_n = \mathcal{F}_n \circ K_n$ として与えられ、$K_n$ は適切な拡張 $\widetilde{\mathcal{O}}_n$ 上で $K_n \circ d + d \circ K_n = \text{id}$ を満たすホモトピー作用素である。
• この枠組みは、摂動的QFTにおける再生化群作用の代数的・幾何的計算への第一歩を提供する。