[論文レビュー] Anomalous diffusion coefficient in disordered media from NMR relaxation

A.E. Sitnitsky|ArXiv.org|Sep 4, 2007

Fractional Differential Equations Solutions参考文献 12被引用数 4

ひとこと要約

本論文は、核磁気共鳴（NMR）スピン格子緩和データを用いて、不規則な媒体における分数階数拡散係数（FDC）を実験的に決定する手法を提示する。異常拡散によるスピン格子緩和率への寄与とFDCとの間の解析的関係を導出することで、モデルに基づいた非侵襲的アプローチにより、FDCの異常拡散パラメータαに依存する関数的依存性を抽出可能とし、NMRが複雑系における異常拡散を探索する有効なツールとして発展する。

ABSTRACT

Application of fractional calculus to the description of anomalous diffusion and relaxation processes in complex media provided one of the most impressive impulses to the development of statistical physics during the last decade. In particular the so-called fractional diffusion equation enabled one to capture the main features of anomalous diffusion. However the price for this achievement is rather high - the fractional diffusion coefficient becomes an involved function of a characteristic of the media (e.g., that of the radius of pores in the case of the porous one). Revealing this dependence from the first principles is one of the main problems in this field of science. Another one still remains that of extracting this dependence from the experiment. The latter problem is tackled in the present paper. Our aim is to provide detailed and pedagogical deriving the relationship of the fractional diffusion coefficient with experimentally observable value from nuclear magnetic resonance (NMR) spin-lattice relaxation data. The result obtained promotes the NMR relaxation method to become a powerful tool in solving the problem of experimental measuring the fractional diffusion coefficient. Also the merits and limitations of NMR relaxation method and pulsed-field gradient (PFG) NMR for the research of anomalous diffusion are compared and discussed.

研究の動機と目的

• 理論的モデルが複雑で直接測定が困難である不規則な媒体における分数階数拡散係数（FDC）の実験的測定の挑戦に応えること。
• 実験的に観測可能な量からFDCを抽出できる、実用的で非侵襲的なNMR緩和に基づく手法を開発すること。
• スピン格子緩和への異常拡散による翻訳的寄与と回転拡散の寄与を分離することにより、FDCの正確な決定を可能とすること。
• NMR緩和データとFDCを異常拡散パラメータαを介して結ぶ、理論的根拠があり解析的に取り扱いやすいフレームワークを確立すること。
• 数学的および実験的複雑性が少ないため、PFG-NMRに比べてNMR緩和が不規則な媒体における異常拡散の研究に優れていることを示すこと。

提案手法

• 異常拡散による翻訳的寄与を要約する関数H(x, α)とFDCとの間の解析的関係を示す式（式61）を導出する。
• 双極子-双極子緩和のスペクトル密度形式を用いて、翻訳的寄与をFDCおよび異常指数αの関数として1/T₁に表現する。
• Larmor周波数ω_Lを固定したまま、温度を変化させることで特徴的な時間τ₁を変化させることで、H(x, α)を実験データから抽出する戦略を提案する。
• 異なるτ₁値における(1/T₁)trans(x, α)の実験的測定値を用い、関数近似によりH(x, α)を再構築する。
• α > α_c（α_cは臨界値）において回転緩和(1/T₁)rotが概ね一定であると仮定し、全(1/T₁)から差し引くことで(1/T₁)transを分離する。
• 得られたH(x, α)を式（61）に適用し、FDCをαの関数として計算することで、系の不均一性に依存するFDCの関数的依存性を実験的に決定可能とする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 不規則な媒体における実験的に測定可能なNMR緩和データから、分数階数拡散係数（FDC）をどのように抽出できるか？
• RQ2 FDCと異常拡散パラメータαとの間の関数的関係は何か？ そして、侵襲的または破壊的でない方法でその関係を特定できるか？
• RQ3 NMR緩和データは、複雑系における翻訳的拡散と回転拡散の寄与を信頼性を持って分離できるか？
• RQ4 なぜPFG-NMRに比べてNMR緩和が不規則な媒体における異常拡散の研究に適しているのか？
• RQ5 回転緩和寄与がαに依存しないとみなせる条件は何か？ これにより翻訳的寄与の分離が可能になる。

主な発見

• 分数階数拡散係数（FDC）と、異常拡散による翻訳的寄与が実験的に測定可能なスピン格子緩和率に与える影響との間の閉形式の解析的関係が導出された。
• Larmor周波数ω_Lを一定に保ちながら温度を変化させることで、τ₁を変化させ、緩和率を測定することにより、FDCが異常指数αに依存する関数的依存性を実験的に抽出可能となった。
• α > α_cの範囲で回転緩和(1/T₁)rotが概ね一定であると仮定することで、全(1/T₁)から差し引くことにより、(1/T₁)transを信頼性高く分離可能となった。
• 異常拡散寄与を符号化する関数H(x, α)は、測定された(1/T₁)trans(x, α)を2変数解析関数にフィッティングすることで、実験データから再構築可能となった。
• 導出された式（式61）は数学的に取り扱いやすく、実験的に実現可能なFDCの決定法を提供し、NMR緩和が異常拡散を研究する強力なツールであると位置づけられた。
• 本研究では、異常拡散をモデル化するにあたりPFG-NMRに深刻な数学的困難が伴うため、その限界が強調され、解析的妥当性の観点からNMR緩和のアプローチが好ましいことが示された。