[論文レビュー] Anomalous edge states and the bulk-edge correspondence for periodically-driven two dimensional systems

Mark S. Rudner, Netanel H. Lindner+2 more|arXiv (Cornell University)|Dec 13, 2012

Topological Materials and Phenomena被引用数 8

ひとこと要約

本稿では、周期的駆動系におけるキラルなエッジ状態を完全に特徴付ける、時間周波数領域における巻き数に基づく新しい位相的不変量を導入する。これは、すべてのバルクフロケットバンドの通常のチーン数がゼロである場合でも成立する。著者らは、これらの「異常」なエッジ状態が、時間発展演算子における非自明な位相的性質に起因することを示し、駆動系における静的バルク-エッジ対応の主要な破綻を解消する。

ABSTRACT

Recently, several authors have investigated topological phenomena in periodically-driven systems of non-interacting particles. These phenomena are identified through analogies between the Floquet spectra of driven systems and the band structures of static Hamiltonians. Intriguingly, these works have revealed that the topological characterization of driven systems is richer than that of static systems. In particular, in driven systems in two dimensions (2D), robust chiral edge states can appear even though the Chern numbers of all the bulk Floquet bands are zero. Here we elucidate the crucial distinctions between static and driven 2D systems, and construct a new topological invariant that yields the correct edge state structure in the driven case. We provide formulations in both the time and frequency domains, which afford additional insight into the origins of the "anomalous" spectra which arise in driven systems. Possible realizations of these phenomena in solid state and cold atomic systems are discussed.

研究の動機と目的

• 周期的駆動2次元系において、すべてのバルクフロケットバンドのチーン数がゼロであるにもかかわらずキラルエッジ状態が出現するという、従来のバルク-エッジ対応の破綻を解消すること。
• 標準的なチーン数分類では捉えきれない、これらの「異常」エッジ状態の存在と数を支配する位相的不変量を同定すること。
• 時間的および周波数的表現を併用した、駆動系における位相的相の分類の新しい枠組みを確立すること。
• 時間発展演算子の巻き数として定義される新しい不変量が、非ゼロのチーン数が存在しない状況においても、キラルエッジモードの数を正しく予測することを示すこと。
• 固体系および冷たい原子系における周期的駆動を用いた、このような位相的エッジ状態の実現と検出の理論的基盤を提供すること。

提案手法

• 駆動周期 $ T $ を持つ周期的駆動系における時間発展演算子 $ U(T, \mathbf{k}) $ を定義し、時間周波数領域におけるユニタリ構造を解析する。
• 時間微分 $ \partial_t U $、波数微分 $ \partial_{k_x} U $、$ \partial_{k_y} U $ を含む三形式トレース式を用いて、$ U^{-1} \partial_t U $、$ U^{-1} \partial_{k_x} U $、$ U^{-1} \partial_{k_y} U $ を統合し、巻き数不変量 $ W[U] $ を定義する。
• 有効ハミルトニアン $ H(\mathbf{k}) = -\frac{2\pi}{T} P(\mathbf{k}) $ のスペクトル射影 $ P(\mathbf{k}) $ を用いて $ W[U] $ の明示的表現を導出し、これが占有人帯のチーン数に還元されることを示す。
• 巻き数 $ W[U] $ とキラルエッジモード数の直接的対応関係を確立し、チーン数が消える状況においてもエッジ状態数を正しく予測できることを証明する。
• 時間的に不変なフラットバンドモデル $ H(\mathbf{k}) = -\frac{2\pi}{T} P(\mathbf{k}) $ を用いて、$ W[U] $ が $ \varepsilon = -2\pi/T $ 帯の総チーン数に等しいことを解析的に検証する。
• 物理的および数学的導出により、トップオロジカル不変量と実際のエッジモード数との一貫性を示し、新しい不変量が頑健で物理的に意味を持つことを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 なぜ周期的駆動2次元系において、すべてのバルクフロケットバンドのチーン数がゼロであるにもかかわらずキラルエッジ状態が出現するのか？
• RQ2 標準的なチーン数を超える、これらの異常エッジ状態の存在と数を支配する位相的不変量は何か？
• RQ3 標準的位相的分類が失敗する駆動系において、バルク-エッジ対応をどのように一般化できるか？
• RQ4 境界が存在する状況において、時間発展演算子の巻き数とエッジモード構造の関係は何か？
• RQ5 新しい位相的不変量は時間領域および周波数領域の両方で計算・解釈可能か？ これにより、異常スペクトルの起源は何か明らかになるか？

主な発見

• 本稿では、周期的駆動2次元系において、すべてのフロケットバンドの通常のチーン数がゼロであってもキラルエッジ状態が出現しうることを示し、従来のチーン数ではキラルエッジ状態を予測できないことを確立した。
• キラルエッジモードの数を正しく予測できる、新しい位相的不変量である巻き数 $ W[U] $ が導入され、それが正当化された。
• 時間的に不変なフラットバンドハミルトニアン $ H(\mathbf{k}) = -\frac{2\pi}{T} P(\mathbf{k}) $ の場合、巻き数 $ W[U] $ が $ \varepsilon = -2\pi/T $ 帯の総チーン数 $ \mathcal{C} $ に等しいことが示された。
• 時間順序付き発展演算子とその微分を含むトレース式から導かれる巻き数は、頑健で計算可能な位相的不変量を提供する。
• 不変量は物理的に整合的である：エッジモード数 $ n_{\text{edge}} $ は $ W[U] $ に等しく、同じ射影構造を持つ静的ハミルトニアンにおけるエッジモード数と一致する。
• 結果として、駆動系の位相的分類には、時間周波数領域における巻き数という、独立した不変量が必要であり、時間発展演算子の位相的性質を通じて静的枠組みと統合されることを示した。