[論文レビュー] Anomalous partially hyperbolic diffeomorphisms I: dynamically coherent examples

Christian Bonatti, Kamlesh Parwani+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 5, 2014

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 10被引用数 22

ひとこと要約

本稿は、閉じた3次元多様体上に、非推移的かつ動的整合性を持つ部分双曲的微分同相写像の最初の既知の例を構成した。この微分同相写像は、基本群が指数的成長を示し、任意の繰り返し写像が恒等写像にホモトープでない。構成法は、非推移的アノソフ流れの時間$t$写像と、慎重に選ばれたドーナツねじり（Dehn twist）を組み合わせるもので、長年の予想である「このような系は、アノソフ流れやスケュー積といった標準的モデルに葉同相（leaf conjugate）であるはずだ」という仮説に反する。

ABSTRACT

We build an example of a non-transitive, dynamically coherent partially hyperbolic diffeomorphism $f$ on a closed $3$-manifold with exponential growth in its fundamental group such that $f^n$ is not isotopic to the identity for all $n\ eq 0$. This example contradicts a conjecture in \\cite{HHU}. The main idea is to consider a well-understood time-$t$ map of a non-transitive Anosov flow and then carefully compose with a Dehn twist.

研究の動機と目的

• 閉じた3次元多様体上に、基本群の成長が指数的である非推移的かつ動的整合性を持つ部分双曲的微分同相写像を構成すること。
• そのような微分同相写像が存在することを示し、任意の繰り返し写像が恒等写像にホモトープでないことを示すこと。これは広く信じられていた予想に反する。
• すべての動的整合性を持つ部分双曲的微分同相写像が、有限被覆および繰り返し写像をとることで、3つの標準的モデル（アノソフ自己同型、スケュー積、アノソフ流れの時間1写像）のいずれかに葉同相であるという予想に対して反例を提供すること。
• 中心葉（center leaves）が、中心安定および中心不安定 foliations が不変であるにもかかわらず、任意の繰り返し写像で固定されないことを示すこと。

提案手法

• 基本群の成長が指数的である非推移的アノソフ流れを、閉じた3次元多様体上にとる。
• この流れの時間-$t$写像 $X_N$ をとり、これは部分双曲的であり、強い安定および不安定 foliations を保存する。
• 流れに直交するトーラス $T_1$ に沿ったドーナツねじり $G$ を施し、$T_1$ の近傍での力学的性質を変更する。
• 時間-$t$写像 $X_N$ とドーナツねじり $G$ を合成して、新しい微分同相写像 $f = G \circ X_N$ を定義する。
• ドーナツねじり $G$ が $T_1$ の近傍にのみ支持され、ホモロジーに非自明な作用を持つように保証し、系の動的整合性を維持する。
• ホモロジー論的議論により、すべての $k \neq 0$ に対して $f^k$ が $H_1(M, \mathbb{Z})$ に非自明に作用することを示し、したがって恒等写像にホモトープでないことを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 動的整合性を持ち、非推移的である部分双曲的微分同相写像が、基本群の成長が指数的である3次元多様体上に存在しうるか？
• RQ2 そのような微分同相写像が、任意の繰り返し写像が恒等写像にホモトープでない状況で実現可能か？
• RQ3 アノソフ自己同型、スケュー積、時間1アノソフ流れ写像のいずれの標準的モデルとも葉同相でない部分双曲的微分同相写像を構成可能か？
• RQ4 中心安定および中心不安定 foliations が不変であっても、中心葉（それらの交線）が繰り返し写像で固定されないことはありうるか？
• RQ5 ドーナツねじりを用いて、アノソフ流れの時間写像を変形し、ホモトピー的自明性を破壊しながらも動的整合性を保つことは可能か？

主な発見

• 構成された微分同相写像 $f$ は、閉じた3次元多様体上にあり、動的整合的かつ非推移的であり、基本群の成長が指数的である。
• すべての $n \neq 0$ に対して $f^n$ は恒等写像にホモトープでない。これは、1次ホモロジーに非自明な作用を示すことで証明された。
• 中心安定および中心不安定 foliations は $f$ で不変であるが、それらの交線である中心葉は、$f$ の任意の繰り返し写像でも固定されない。
• この例は、すべての動的整合的かつ部分双曲的微分同相写像が、有限被覆および繰り返し写像をとることで、3つの標準的モデル（アノソフ自己同型、スケュー積、時間1アノソフ流れ写像）のいずれかに葉同相であるという予想を反証する。
• この構成により、強いfoliationが保存されても、中心foliationが繰り返し写像で不変でないことが可能であることが示され、グローバル不変性の微妙な破綻が浮き彫りになった。
• 基本群の指数的成長は、多様体がアノソフ微分同相写像やスケュー積を許容できないことを意味し、3つの標準的モデルのうち2つを除外する。