[論文レビュー] Anomalous Scaling of Offspring and Generation Numbers in Branching Processes

А. И. Саичев, Agnès Helmstetter+1 more|arXiv (Cornell University)|May 1, 2003

Complex Systems and Time Series Analysis被引用数 12

ひとこと要約

本稿は、地震の余震列に関連するべきべき分布を示す繁殖率をもつ確率的分岐過程における、全後代および全世代数の統計的スケーリングを研究する。べき乗則分布を示す繁殖率（指数γ < 2）に対して、重い尾を持つ漸近的分布を導出する：全後代に関してはp_r(r) ~ 1/r^(1+1/γ)、全世代に関してはp_g(g) ~ 1/g^(1+1/(γ−1))であり、数値シミュレーションによって検証される。

ABSTRACT

We consider a general stochastic branching process, which is relevant to earthquakes as well as to many other systems, and we study the distributions of the total number of offsprings (direct and indirect aftershocks in seismicity) and of the total number of generations before extinction. We apply our results to a branching model of triggered seismicity, the ETAS (epidemic-type aftershock sequence) model. The ETAS model assumes that each earthquake can trigger other earthquakes (``aftershocks''). An aftershock sequence results in this model from the cascade of aftershocks of each past earthquake. Due to the large fluctuations of the number of aftershocks triggered directly by any earthquake (``fertility''), there is a large variability of the total number of aftershocks from one sequence to another, for the same mainshock magnitude. We study the regime where the distribution of fertilities mu is characterized by a power law ~1/\mu^(1+gamma). For earthquakes, we expect such a power-law distribution of fertilities with gamma = b/alpha based on the Gutenberg-Richter magnitude distribution ~10^(-bm) and on the increase ~10^(alpha m) of the number of aftershocks with the mainshock magnitude m. We derive the asymptotic distributions p_r(r) and p_g(g) of the total number r of offsprings and of the total number g of generations until extinction following a mainshock. In the regime \gamma<2 relevant for earhquakes, for which the distribution of fertilities has an infinite variance, we find p_r(r)~1/r^(1+1/gamma) and p_g(g)~1/g^(1+1/(gamma -1)). These predictions are checked by numerical simulations.

研究の動機と目的

• 高い可変性を示す誘発（繁殖率）をもつ確率的分岐過程における、全後代および全世代の統計的挙動を理解すること。
• 各イベントが連鎖的にさらなるイベントを誘発するという性質を持つETASモデルを用いて、地震の余震列をモデル化すること。
• 繁殖率がべき乗則分布（指数γ）に従う場合、全後代および全世代のスケーリングに及ぼす影響を調査すること。
• 繁殖率の分散が無限大となる領域（γ < 2）において、全後代rおよび全世代gの漸近的分布を導出すること。
• 分岐過程の数値シミュレーションを通じて理論的予測の妥当性を検証すること。

提案手法

• 各個体（地震）が、べき乗則分布に従う繁殖率μ ~ 1/μ^(1+γ) でランダムな数の後代（余震）を生成する一般化された確率的分岐過程を形式化する。
• 主な衝撃が余震を誘発し、その余震がさらに他のイベントを引き起こすというETASフレームワークにモデルを適用する。
• 極値理論および分岐過程理論を用いて、全後代rおよび全世代gの漸近的分布を導出する。
• γ < 2 の条件下で、全後代のスケーリングp_r(r) ~ 1/r^(1+1/γ) および全世代のスケーリングp_g(g) ~ 1/g^(1+1/(γ−1)) を導出する。
• 理論的予測のべき乗則スケーリングが正しく再現されることを、分岐過程の数値シミュレーションによって確認する。
• モデルのパラメータを地震学的観測量に関連付ける：γ = b/α、ここでbはGutenberg-Richterのb値、αは余震生産性の大きさ依存指数である。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 分散が無限大となる場合、べき乗則分布を示す繁殖率をもつ分岐過程における全後代の分布はどのようにスケーリングするか？
• RQ2 このような分岐過程における全世代数の漸近的分布は何か？
• RQ3 後代および世代の分布のスケーリング指数は、繁殖率分布のべき乗則指数γにどのように依存するか？
• RQ4 理論的予測がγ < 2 の領域で数値シミュレーションとどの程度一致するか？
• RQ5 同じ主震マグニチュードであっても、異なる地震列における余震総数の大きなばらつきを、このモデルは説明できるか？

主な発見

• γ < 2 の場合、全後代rの分布は重い尾を持つ：p_r(r) ~ 1/r^(1+1/γ) であり、これは余震総数の極めて大きなばらつきを示している。
• 全世代gの分布はp_g(g) ~ 1/g^(1+1/(γ−1)) とスケーリングし、重い尾を持つ繁殖率分布に起因する異常スケーリングを示している。
• 理論的予測は数値シミュレーションによって確認され、繁殖率分散が無限大となる領域における理論的予測の妥当性が裏付けられている。
• 全後代のスケーリング指数はγに逆比例し、γが0に近づくにつれてより重い尾が生じる。
• 世代分布は後代分布よりも急激なべき乗則を示しており、これは極めて長期間続く稀な系列の減衰が遅いことに起因する。
• 地震学的パラメータとモデルを関連づけることができ、γ = b/α（bはGutenberg-Richterのb値、αは余震生産性の大きさ依存指数）であり、実証的検証が可能になる。