[論文レビュー] Anomalous symmetries of quantum spin chains and a generalization of the Lieb-Schultz-Mattis theorem

Anton Kapustin, Nikita Sopenko|arXiv (Cornell University)|Jan 4, 2024

Algebraic structures and combinatorial models被引用数 9

ひとこと要約

この論文は、1D量子スピン鎖に対する局所保存対称作用の異常インデックスを定義し、非ゼロの異常が対称なギャップのある基底状態を禁止することを示し、群共形幾何学と Lie 群の微分同型cohomologyを用いて Lieb-Schultz-Mattis型制約を拡張する。

ABSTRACT

For any locality-preserving action of a group $G$ on a quantum spin chain one can define an anomaly index taking values in the group cohomology of $G$. The anomaly index is a kinematic quantity, it does not depend on the Hamiltonian. We prove that a nonzero anomaly index prohibits any $G$-invariant Hamiltonian from having $G$-invariant gapped ground states. Lieb-Schultz-Mattis-type theorems are a special case of this result when $G$ involves translations. In the case when the symmetry group $G$ is a Lie group, we define an anomaly index which takes values in the differentiable group cohomology as defined by J.-L. Brylinski and prove a similar result.

研究の動機と目的

• 量子スピン鎖に対する対称作用下での低エネルギー挙動に対する制約を動機づける。
• スピン鎖に対する局所性を保つG作用の運動学的異常インデックスを導入する。
• 非ゼロの異常に対してG不変哈ミルトニアンがG不変のギャップを持つ基底状態を持たないという結果を確立する。
• 微分可能な群共homologyを用いてリ Lie 群へ拡張する枠組みを一般化する。

提案手法

• スピン鎖に対する任意の局所性を保つG作用のためのH^3(G,U(1))に値をとる異常インデックスを定義する。
• 非ゼロの異常インデックスは、G不変のハミルトニアンがG不変のギャップのある基底状態を持つことを妨げると証明する。
• GNVW指数が自明な作用を分解し、異常クラスを得るための3-コサイクルを構成する。
• 微分可能な群共homologyを用いてLie群へ拡張し、得られるギャップなし制約を議論する。
• 関手性と対称作用間の混合異常と、並進対称性・オンサイト対称性間の混合異常を議論する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 1D量子スピン鎖における局所性を保つG-作用の異常インデックスはいかに定義され、いかに計算されるのか？
• RQ2 非ゼロの異常インデックスは熱力学極限におけるG不変ギャップ基底状態の存在を妨げるのか？
• RQ3 differentiable cohomologyを用いたLie群対称性への異常フレームワークの一般化はどうなるのか？
• RQ4 並進とオンサイト対称性間の混合異常はLSM型制約の生成においてどのような役割を果たすのか？

主な発見

• 局所性を保つG作用 on 1Dスピン鎖に対してH^3(G,U(1))に値をとる異常インデックスが定義され、純粋に運動学的である。
• 非ゼロの異常インデックスは、G不変のハミルトニアンが熱力学極限でG不変のギャップのある基底状態を持つことを禁止する。
• Lieb-Schultz-Mattis型定理は、並進を含む一般的な異常排除からの特殊ケースとして現れる。
• Lie群対称性の場合、異常インデックスは微分可能な群共homologyの値を取り、非ゼロの値もギャップを持つ不変基底状態を妨げる。
• 異常インデックスは関手的であり、オンサイト作用では自明だが、並進とオンサイト対称性の間には非自明な混合異常が生じ得る。
• この格子系においてコンパクト連結Lie群は非ゼロの異常インデックスを持つことができないと論じている。