[論文レビュー] Anomalous transport and current fluctuations in a model of diffusing Levy walkers

Abhishek Dhar, Keiji Saito|arXiv (Cornell University)|Aug 26, 2013

stochastic dynamics and bifurcation参考文献 2被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、長めの飛行時間を持つ非相互作用Lévyウォークの系における異常輸送および電流フラクチュエーションを、正確な解析的手法を用いて研究している。定常状態での電流、密度プロファイル、およびモーメント母関数を導出している。電流は $ J \sim L^{-1+\alpha} $ とスケーリングし、$ \alpha = \frac{1}{3} $ である。リング幾何における電流フラクチュエーションは、飛行時間に系サイズに依存するカットオフが導入されることで、系サイズ依存のスケーリングを示しており、1次元熱輸送モデルのシミュレーションと整合的である。

ABSTRACT

A Levy walk is a non-Markovian stochastic process in which the elementary steps of the walker consist of motion with constant speed in randomly chosen directions and for a random period of time. The time of flight is chosen from a long-tailed distribution with a finite mean but an infinite variance. Here we consider an open system with boundary injection and removal of particles, at prescribed rates, and study the steady state properties of the system. In particular, we compute density profiles, current and current fluctuations in this system. We also consider the case of a finite density of Levy walkers on the ring geometry. Here we introduce a size dependent cut-off in the time of flight distribution and consider properties of current fluctuations.

研究の動機と目的

• 境界からの注入および除去レートを伴う非相互作用Lévyウォークの系における定常状態輸送を理解すること。
• 所定のリザボアを有する開放的幾何における平均電流、密度プロファイル、および電流フラクチュエーションを計算すること。
• 有限のウォーク数を有するリング幾何における電流フラクチュエーションを、系サイズに依存する飛行時間カットオフを用いて分析すること。
• 本モデルの予測を、ハードポイントガスや非調和鎖などの1次元系における異常熱輸送に結びつけること。
• 開放的およびリング幾何における統合電流のモーメント母関数の正確な式を導出すること。

提案手法

• 飛行時間 $ \phi(t) \sim t^{-\beta} $（$ 1 < \beta < 2 $）に従う重い尾を持つ分布から抽出される定速の非マルコフ過程としてLévyウォークをモデル化すること。
• 連続的ステップ分布 $ \eta(x,t) = \frac{1}{2}[\delta(x - vt) + \delta(x + vt)]\phi(t) $ を用いて、伝播関数 $ P(x,t) $ を再生方程式で定義すること。
• 母関数およびラプラス変換を用いて、位置および統合電流のモーメントと累積モーメントを計算すること。
• リング幾何における発散を正則化するため、系サイズに依存するカットオフ $ t_L \sim L^\delta $ を飛行時間分布に導入すること。
• 経路積分および再生理論の技法を用いて、開放的およびリング幾何における電流の正確な累積モーメント母関数を導出すること。
• 高次モーメントのスケーリング形を一般化し、$ \langle \mathcal{Q}^{2n} \rangle_c / t \sim L^{(2n - \beta)\delta - (2n - 1)} $ と予想すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 開放境界および粒子リザボアを伴うLévyウォークモデルにおいて、定常状態電流は系サイズにどのように依存するか？
• RQ2 非平衡Lévyウォーク系の定常状態における密度プロファイルの関数的形は何か？
• RQ3 有限のLévyウォークの密度を有するリング幾何における電流フラクチュエーションは、系サイズにどのように依存するか？
• RQ4 開放的およびリング幾何における統合電流の累積モーメント母関数の正確な形は何か？
• RQ5 飛行時間に系サイズに依存するカットオフを導入した場合、リング幾何における電流フラクチュエーションのスケーリングにどのような影響を与えるか？

主な発見

• 定常状態電流は $ J \sim L^{-1 + \alpha} $ とスケーリングし、$ \alpha = \frac{1}{3} $ である。これは1次元熱輸送のシミュレーションで観測された異常フォアラーの法則と整合的である。
• 電流は密度勾配に対して局所的でない関係にある。これは、通常の拡산輸送とは異なり、電流が勾配に局所的に比例するという点で異なる。
• リング幾何における電流の2次モーメントは $ \langle \mathcal{Q}^2 \rangle_c / t \sim L^{(2 - \beta)\delta - 1} $ とスケーリングし、$ \beta \approx 5/3 $、$ \delta \approx 3/2 $ であり、ハードポイントガスからのシミュレーションデータと一致する。
• 4次モーメントは $ \langle \mathcal{Q}^4 \rangle_c / t \sim L^{(4 - \beta)\delta - 3} $ とスケーリングし、$ \sim L^{1.5} $ のスケーリングを予測しており、数値観測と一致する。
• 6次モーメントは $ \langle \mathcal{Q}^6 \rangle_c / t \sim L^{(6 - \beta)\delta - 5} $ とスケーリングし、一般スケーリング予想 $ \langle \mathcal{Q}^{2n} \rangle_c / t \sim L^{(2n - \beta)\delta - (2n - 1)} $ を支持する。
• 本モデルは、長距離飛行を有する系における異常輸送および電流フラクチュエーションを理解するための正確な解析的フレームワークを提供しており、フォノン輸送や不純物系における光拡散に関連する。