[論文レビュー] Anomalous velocity distributions in inelastic Maxwell gases

Ricardo Brito, M. H. Ernst|arXiv (Cornell University)|Oct 17, 2003

Granular flow and fluidized beds参考文献 1被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、非弾性マクスウェルガスにおける異常な速度分布を運動論的理論を用いて調査し、非線形ボルツマン方程式のスケーリング解に注目する。非弾性衝突が過剰に高いエネルギー尾を引き起こすことを示しており、自由に冷却される系では代数的尾、駆動される系ではストレッチドガウス型尾を示す。これは、異なるモデルや駆動メカニズムにおいても、非ガウス的特徴の頑健性を示している。

ABSTRACT

This review is a kinetic theory study investigating the effects of inelasticity on the structure of the non-equilibrium states, in particular on the behavior of the velocity distribution in the high energy tails. Starting point is the nonlinear Boltzmann equation for spatially homogeneous systems, which supposedly describes the behavior of the velocity distribution function in dissipative systems as long as the system remains in the homogeneous cooling state, i.e. on relatively short time scales before the clustering and similar instabilities start to create spatial inhomogeneities. This is done for the two most common models for dissipative systems, i.e. inelastic hard spheres and inelastic Maxwell particles. In systems of Maxwell particles the collision frequency is independent of the relative velocity of the colliding particles, and in hard sphere systems it is linear. We then demonstrate the existence of scaling solutions for the velocity distribution function, $F(v,t) \sim v_0(t)^{-d} f((v/v_0(t))$, where $v_0$ is the r.m.s. velocity. The scaling form $f(c)$ shows overpopulation in the high energy tails. In the case of freely cooling systems the tails are of algebraic form, $ f(c)\sim c^{-d-a}$, where the exponent $a$ may or may not depend on the degree of inelasticity, and in the case of forced systems the tails are of stretched Gaussian type $f(v)\sim\exp[-β(v/v_0)^b]$ with $b <2$.

研究の動機と目的

• 非平衡状態の構造、特に高エネルギー尾における速度分布関数の振る舞いを分析すること。
• 非弾性マクスウェル粒子（IMM）と非弾性硬球（IHS）における非弾性的な性質の影響を比較し、スケーリング解と尾の特徴に注目すること。
• 外部駆動および衝突頻度の依存性が、速度分布尾の形と過剰性に与える影響を調査すること。
• 非弾性BGK近似やソフトスフィア相互作用を含む、簡略化されたモデルにおける異常な尾の挙動の頑健性を評価すること。
• 非弾性系における過剰な尾の一般的な形がストレッチドガウス型かべき関数型かを特定すること。

提案手法

• 空間的に均一な非弾性系に適用可能な非線形ボルツマン方程式を、IMMおよびIHSモデルに適用して定式化する。
• スケーリング解 $ F(v,t) \sim v_0(t)^{-d} f(v/v_0(t)) $ を導出し、ここで $ v_0(t) $ はRMS速度である。これにより、時間に依存する分布形状の解析が可能になる。
• エネルギー供給と定常状態の安定化をモデル化するため、白色ノイズ（WN）、等速度（iso-kinetic）、および一定法線力（NF）の異なるサーモスタットを適用する。
• 解析的手法およびモンテカルロシミュレーションを用いてボルツマン方程式を解き、スケーリング形および尾の挙動を検証する。
• 衝突頻度の依存性が異なるモデル間で比較される：定数（IMM）、相対速度に比例（IHS）、および $ \propto g^\nu $ のソフトスフィア。
• $ c = v/v_0(t) $ とした分布関数 $ f(c) $ の漸近的挙動を分析し、尾の指数および関数的形を特定する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 自由に冷却される非弾性マクスウェルガスにおいて、速度分布の高エネルギー尾はどのような関数的形をとるか？
• RQ2 異なるサーモスタットによる外部エネルギー入力が、速度分布尾の形状と過剰性にどのように影響を与えるか？
• RQ3 非弾性マクスウェルモデルにおける尾の特徴は、非弾性硬球やソフトスフィアモデルと比べてどのように異なるか？
• RQ4 非弾性系における過剰な尾の一般的な形は、ストレッチドガウス型かべき関数型か？
• RQ5 非弾性BGK近似のような簡略化された運動論的モデルにおいて、異常な尾の特徴はどの程度頑健か？

主な発見

• 自由に冷却される非弾性マクスウェルガスでは、速度分布が $ f(c) \sim c^{-d-a} $ の代数的尾を示し、高エネルギー領域での強い過剰性を示している。
• 駆動される非弾性マクスウェルガスでは、尾が $ f(c) \sim \exp[-\beta c^b] $ のストレッチドガウス型を示し、$ 0 < b < 2 $ であり、自由冷却に比べて過剰性が小さい。
• 非弾性硬球では、高エネルギー尾もストレッチドガウス型（$ b < 2 $）であるが、衝突頻度が高いためIMMに比べて過剰性が小さい。
• $ \nu \to 0 $（IMMに対応）のソフトスフィアモデルではべき関数型尾が得られ、代数的尾がストレッチドガウス族の極限として得られることを確認した。
• 等速度サーモスタットでは $ b = \nu $、白色ノイズサーモスタットでは $ b = \frac{1}{2}(\nu + 2) $ が得られ、両者ともストレッチドガウス型挙動と整合的である。
• 一定法線力サーモスタットの理論的解は、完全なボルツマン方程式の漸近的解として確認され、$ \alpha < 1 $ の場合に一貫性があることが裏付けられた。