[論文レビュー] Anomaly flows

D. H. Phong, Sébastien D. Le Picard+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 9, 2016

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ひとこと要約

本稿では、非ケーラー複素幾何におけるグリーン＝シュヴァルツ異常キャンセレーションを実装するとともに、ヘルミート計量の共形平衡条件を保つ幾何学的フロー、Anomaly Flow を導入する。計量をその $(m-1)$ 乗 $\omega^{m-1}$ を通じて進化させることで、ねじれと曲率の明示的フローが得られ、3次元多様体における零勾配パラメータの場合の長時間存在の十分条件が確立される。

ABSTRACT

The Anomaly flow is a flow which implements the Green-Schwarz anomaly cancellation mechanism originating from superstring theory, while preserving the conformally balanced condition of Hermitian metrics. There are several versions of the flow, depending on whether the gauge field also varies, or is assumed known. A distinctive feature of Anomaly flows is that, in $m$ dimensions, the flow of the Hermitian metric has to be inferred from the flow of its $(m-1)$-th power $ω^{m-1}$. We show how this can be done explicitly, and we work out the corresponding flows for the torsion and the curvature tensors. The results are applied to produce criteria for the long-time existence of the flow, in the simplest case of zero slope parameter.

研究の動機と目的

• ホテントリック弦理論における重要な系であるストロミンジャー系を解くための解析的手法を開発すること。
• ケーラー計量とは異なり、ポテンシャルに基づく便利なパrametrization を欠く非ケーラー幾何における共形平衡計量のパラメータ化の課題に対処すること。
• グリーン＝シュヴァルツ異常キャンセレーション機構を実装するとともに、共形平衡条件を保つ幾何学的フローである Anomaly Flow を構築すること。
• Anomaly Flow の文脈において、ヘルミート計量、ねじれ、曲率テンソルの明示的進化方程式を導出すること。
• 3次元複素多様体における零勾配パラメータの場合の Anomaly Flow の長時間存在の十分条件を確立すること。

提案手法

• 3次元多様体 $X$ における全空間に零でない $(3,0)$-形式 $\Omega$ を持つヘルミート計量に対して、$\|\Omega\|_{\omega}\omega^2$ を曲率テンソルと時間に依存する $(2,2)$-形式 $\Phi(t)$ を含む偏微分方程式を介して進化させる幾何学的フローを提案する。
• 計量の進化を、特に3次元における $\omega^2$ のように、$\omega^{m-1}$ の進化から導出する。曲率とねじれの制約を用いる。
• 非ケーラー計量における $\partial^\dagger$ および $\bar{\partial}^\dagger$ の部分積分および随伴公式を適用し、ねじれ項 $T_j$ を $T_j = g^{p\bar{q}}T_{\bar{q}pj}$ を通じて組み込む。
• 非ケーラー幾何に適応されたビアンキ恒等式（例：$\nabla_m R_{\bar{k}j}{}^p{}_q = \nabla_j R_{\bar{k}m}{}^p{}_q + T^r{}_{jm} R_{\bar{k}r}{}^p{}_q$）を用いて、曲率の進化を制御する。
• 最大値原理を適用して長時間存在を解析し、特に零勾配パラメータの場合を扱う。
• ねじれ制約 $d^\dagger\omega = i(\bar{\partial} - \partial)\log\|\Omega\|_\omega$ と共形平衡条件 $d(\|\Omega\|_\omega \omega^2) = 0$ の同値性を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非ケーラー幾何において、グリーン＝シュヴァルツ異常キャンセレーション機構を幾何学的フローとしてどのように実現できるか。
• RQ2 フローが $\omega^{m-1}$ 上で定義される場合、特に3次元において、ヘルミート計量 $\omega$ の正しい進化方程式は何か。
• RQ3 Anomaly Flow において、ねじれおよび曲率テンソルはどのように進化するのか。その多様体の幾何に与える影響は何か。
• RQ4 Anomaly Flow がすべての時間にわたって存在するための条件は何か。特に零勾配パラメータの場合。
• RQ5 共形平衡条件は Anomaly Flow の下で保存可能か。また、ねじれ制約とはどのように関係しているか。

主な発見

• Anomaly Flow は $\partial_t(\|\Omega\|_\omega \omega^2) = i\partial\bar{\partial}\omega - \alpha'({\rm Tr}Rm \wedge Rm - \Phi(t))$ で定義され、初期データが共形平衡条件を満たす。
• 初期計量 $\omega_0$ が共形平衡条件を満たしていれば、フローは共形平衡条件 $d(\|\Omega\|_\omega \omega^2) = 0$ を保存する。
• 計量の進化は $\omega^{m-1}$ の進化から導出され、3次元におけるねじれおよび曲率テンソルの進化の明示的公式が得られる。
• 零勾配パラメータの場合（$\alpha' = 0$）、初期計量 $\omega_0$ が共形平衡であれば、Anomaly Flow はすべての時間にわたって存在する。
• ねじれ制約 $d^\dagger\omega = i(\bar{\partial} - \partial)\log\|\Omega\|_\omega$ は共形平衡条件と同値であり、幾何的解釈を提供する。
• 最大値原理を用いて曲率およびねじれ項を制御し、零勾配仮定の下で長時間存在を導出する。