[論文レビュー] Anomaly Inflow and the $\eta$-Invariant

Edward Witten, Kazuya Yonekura|arXiv (Cornell University)|Sep 18, 2019

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 62被引用数 26

ひとこと要約

本稿は、$d+1$次元におけるアティヤ＝パトゥリ＝サイモンズ $η$-不変量を用いて摂動的 Chern-Simons 項を置き換えることで、フェルミオンの異常インフレウの非摂動的定式化を確立し、摂動的およびグローバルな異常を正確かつ数学的に厳密に記述する。主な結果は、APS境界条件を課した質量のあるバルクフェルミオンを統合して得られる一般化された異常インフレウの公式であり、Dai-Freed定理とコボルディズム不変性によって検証されている。

ABSTRACT

Perturbative fermion anomalies in spacetime dimension $d$ have a well-known relation to Chern-Simons functions in dimension $D=d+1$. This relationship is manifested in a beautiful way in "anomaly inflow" from the bulk of a system to its boundary. Along with perturbative anomalies, fermions also have global or nonperturbative anomalies, which can be incorporated by using the $\\eta$-invariant of Atiyah, Patodi, and Singer instead of the Chern-Simons function. Here we give a nonperturbative description of anomaly inflow, involving the $\\eta$-invariant. This formula has been expected in the past based on the Dai-Freed theorem, but has not been fully justified. It leads to a general description of perturbative and nonperturbative fermion anomalies in $d$ dimensions in terms of an $\\eta$-invariant in $D$ dimensions. This $\\eta$-invariant is a cobordism invariant whenever perturbative anomalies cancel.

研究の動機と目的

• 摂動的およびグローバルなフェルミオン異常を両方含む、異常インフレウの非摂動的一般化を提供すること。
• アティヤ＝パトゥリ＝サイモンズ（APS）境界条件を用いた $η$-不変量の異常インフレウにおける使用を正当化し、摂動的 Chern-Simons 項を超えた一般化を実現すること。
• ギャップのある $d+1$次元系における質量のあるバルクフェルミオンを統合することで、異常インフレウの明確な公式を確立すること。
• Dai-Freed定理が、この非摂動的異常インフレウ構成の一貫した数学的基盤を提供することを示すこと。
• $d=1,2,3,4$次元におけるグローバル異常を分析し、トポロジカル絶縁体および標準模型への応用を含めること。

提案手法

• 局所的境界条件を課した $d+1$次元における質量のあるディラックフェルミオンの経路積分を用いて異常インフレウを定式化し、$η$-不変量を含む有効作用が得られること。
• Dai-Freed定理を用いて、APS境界条件を課したディラック作用素の $η$-不変量と非摂動的経路積分位相を関係づけること。
• 質量のあるバルクフェルミオンを統合することで一般化された異常インフレウ公式（式 2.52）を導出し、摂動論的極限では Chern-Simons に還元されるが、非摂動的補正を含むこと。
• コボルディズム不変性とカットアンドペーストの議論を用いて、グローバル異常条件を、特に $S^4$ および $S^4 \times S^1$ における既知の不変量に還元すること。
• $D=5$次元における mod 2 指数が、擬実表現の異常を捕捉するトポロジカル不変量として果たす役割を分析すること。特に $\mathrm{SU}(2)$-還元されたゲージ群において顕著である。
• 障害理論とホモトピー群の分析（$i \leq 4$ に対する $\pi_i(G)$）を用いて、任意の連結かつ simply-connected ゲージ群が $\mathrm{SU}(2)$ に位相的に還元可能であり、異常が $\mathrm{SU}(2)$ 表現によって完全に記述されることを示すこと。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 異常インフレウは、摂動論を超えて非摂動的（グローバル）異常を含む形でどのように一般化可能か？
• RQ2 なぜ APS 境界条件を課した $η$-不変量が、異常インフレウにおける Chern-Simons 理論の正しい非摂動的一般化であるのか？
• RQ3 Dai-Freed定理を用いて、任意の相対論的フェルミオン系における非摂動的、明確な異常インフレウ公式を導出可能か？
• RQ4 コボルディズム不変性は、4次元ゲージ理論におけるグローバル異常を分類する上で果たす役割は何か？
• RQ5 $d=4$ ゲージ理論におけるグローバル異常は、どのように $S^4$ や $S^4 \times S^1$ 上の不変量に還元され、この文脈における mod 2 指数の意味は何か？

主な発見

• APS境界条件を課した $d+1$次元における質量のあるディラックフェルミオンを統合することで、非摂動的異常インフレウ公式（式 2.52）が導出され、有効作用が $η$-不変量に比例することが得られた。
• APS境界条件を課した $η$-不変量は、摂動的異常（Chern-Simons を通じて）と非摂動的異常を両方正しく捕捉し、Dai-Freed定理を異常インフレウに一般化した。
• $d=4$ ゲージ理論において、連結かつ simply-connected ゲージ群を有する系では、グローバル異常は $D=5$ 次元におけるディラック作用素の mod 2 指数によって完全に決定され、$S^4$ 上のゼロモード数が偶数であればその値は消える。
• コボルディズム不変性とカットアンドペーストの議論により、5次元多様体 $Y_3$ 上での異常条件 $\Upsilon_{Y_3} = 1$ が、$Y_2 = S^4 \times S^1$ 上での条件に等価であることが示され、$S^4$ を基準とする不変量が異常を完全に捕捉していることが示された。
• 任意の $G$-バンドルの構造群は、障害理論と $i \leq 4$ に対するホモトピー群 $\pi_i(G)$ を用いて $\mathrm{SU}(2)$ に位相的に還元可能であり、異常が $\mathrm{SU}(2)$ 表現によって完全に記述されることを証明した。
• $G = \mathrm{Sp}(2k)$ の場合、mod 2 コボルディズム不変量は、基本表現におけるディラック作用素の mod 2 指数であり、$Y_2 = S^4 \times S^1$ においてラムドスピン構造をとるとき非ゼロとなり、非自明なグローバル異常の存在を確認した。