[論文レビュー] Anosov Endomorphisms on the 2-torus: Regularity of foliations and rigidity

Marisa Cantarino, Régis Varão|arXiv (Cornell University)|Apr 4, 2021

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 25被引用数 2

ひとこと要約

この論文は、安定・不安定foliationの正則性とリャプノフ指数の等価性を結びつけることで、2次元トーラス上のアノソフ自己準同型の滑らかな共役に関する十分条件を確立する。一様有界密度（UBD）性質と密度の擬不変性を用いて、2つのCk（k ≥ 2）アノソフ自己準同型が、恒等写像にホモトープな写像による位相的共役であり、対応する周期点で同じリャプノフ指数を持つならば、その共役はCkであることを証明する。これにより、特殊なアノソフ自己準同型およびその線形化の間の滑らかな共役が完全に特徴付けられる。

ABSTRACT

We provide sufficient conditions for smooth conjugacy between two Anosov endomorphisms on the 2-torus. From that, we also explore how the regularity of the stable and unstable foliations implies smooth conjugacy inside a class of endomorphisms including, for instance, the ones with constant Jacobian. As a consequence, we have in this class a characterization of smooth conjugacy between special Anosov endomorphisms and their linearizations.

研究の動機と目的

• 非可逆なアノソフ自己準同型の間の滑らかな共役に関する十分条件を確立すること。
• 安定・不安定foliationの正則性が、位相的共役の滑らかさに与える影響を調査すること。
• 可逆なアノソフ微分同相写像の設定における剛性結果を、非可逆な自己準同型への拡張すること。
• 1点あたり1つの不安定方向を持つ特殊なアノソフ自己準同型について、リャプノフ指数の一致を用いて滑らかな共役を特徴付けること。
• ミセナとグー＝シの先行研究を一般化し、定数ヤコビアンよりも弱い幾何的仮定（UBD、擬不変性）を導入することで、滑らかな共役の剛性を保ちながら拡張すること。

提案手法

• ジャン＝リニ・ジュルネの正則性補題を用いて、横断的foliationに沿って共役写像hのCk正則性を伝播させる。
• 一様有界密度（UBD）性質を用いて、反復写像下での不安定な葉上の測度の歪みを制御する。
• 密度の擬不変性条件を導入：各葉Wと反復回数kに対して、誘導測度の比が定数Cによって一様に有界である。
• UBDおよび擬不変性が、測度mkx, Fk∗m0F−k(x)などの一様等価性をもたらし、その境界がCに依存することを活用する。
• バーキホフのエルゴード定理とリャプノフ指数の定義を用いて、fの不安定指数がその線形化Aのそれと等しいことを示す。
• 周期点におけるリャプノフ指数が一致し、共役が恒等写像にホモトープであるならば、hはCkであることを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 2次元トーラス上の2つのアノソフ自己準同型の位相的共役が滑らかになる条件は何か？
• RQ2 安定・不安定foliationの正則性は、共役写像の滑らかさにどのように影響するか？
• RQ3 定数ヤコビアン条件を緩和しても、滑らかな共役の剛性は保たれるか？
• RQ4 密度の擬不変性は、共役の正則性を保証するために果たす役割は何か？
• RQ5 特殊なアノソフ自己準同型（1点あたり1つの不安定方向）について、滑らかな共役は周期点におけるリャプノフ指数の一致と同値か？

主な発見

• 2次元トーラス上のCk（k ≥ 2）アノソフ自己準同型fとgが、恒等写像にホモトープな写像hによる位相的共役であり、対応する周期点でリャプノフ指数が一致するならば、hはCkである。
• 1点あたり1つの不安定方向を持つ特殊なアノソフ自己準同型について、その線形化への滑らかな共役は、すべての周期点において不安定リャプノフ指数が一致することと同値である。
• UBD性質と密度の擬不変性は、定数ヤコビアンよりも弱い幾何的条件であるが、リャプノフ指数の一致と組み合わせることで、依然としてCk共役をもたらす。
• fとgがC∞であれば、非可逆な設定下でも共役hはC∞である。
• 証明により、fの不安定リャプノフ指数がその線形化Aのそれと等しいことが示され、ヤコビアンの保存により、安定指数に対しても同様の一致が成立する。
• 本結果は、ミセナとグー＝シの先行研究を一般化し、T2上での特殊アノソフケースにおける滑らかな共役の完全な特徴付けを提供する。