[論文レビュー] Anosov groups: local mixing, counting, and equidistribution

S. F. Edwards, Minju Lee+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 31, 2020

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 45被引用数 15

ひとこと要約

本稿では、高ランクの単純非コンパクト Lie 群における Anosov 部分群の局所混合性を、Burger-Roblin 測度の高ランク版を導入し、行列係数の漸近的減衰を証明し、それらの結果を用いてアフィン対称空間における二等辺形の数え上げと一様分布の定理を得ることで確立する。主な貢献は、$L^2(\Gamma\backslash G)$ 内の行列係数の精密な漸近公式であり、$t \to \infty$ のとき、$\Gamma$ の極限錐の内部の方向に対して成り立つ。

ABSTRACT

Let $G$ be a connected semisimple real algebraic group, and $Γ

研究の動機と目的

• Zariski 稠密な Anosov 部分群 $\Gamma < G$ に対して、$t \to \infty$ のとき $L^2(\Gamma\backslash G)$ 内の行列係数 $\langle \exp(tu)f_1, f_2 \rangle$ の漸近的挙動を理解すること。
• 極限錐の内部における行列係数の減衰を記述する高ランク版の Burger-Roblin 測度を導入すること。
• 一般化された Cartan 分解を用いて、$H\backslash G$ 内の $\Gamma$-軌道に対する二等辺形の数え上げ結果を確立すること。
• Duke-Rudnick-Sarnak および Eskin-McMullen の結果を、高ランク設定における Anosov 部分群へと拡張すること。
• $\Gamma\backslash G$ 内の $\Gamma\backslash \Gamma H$ の軌道の 1 パrameter 群による平行移動の一致分布性を証明すること。

提案手法

• 極限集合と Furstenberg 境界上の力学を用いて定義される、古典的 Burger-Roblin 測度の高ランク版である一般化された BMS および BR 測度を導入する。
• これらの測度を $N$-軌道に沿って分解することで、行列係数の漸近的挙動を分析する。
• BMS 混合性と Patterson-Sullivan 測度の平行移動を用いて、$L^2(\Gamma\backslash G)$ 内の減衰率を導出する。
• 一般化された Cartan 分解を用いて $G$ をパラメトライズし、$H\backslash G$ 内の軌道と $\Gamma$ の極限錐を関連付ける。
• スペクトル的および測度論的技法を用いて、$\Gamma\backslash G$ 上の力学から $H\backslash G$ 内の数え上げへの転送原理を確立する。
• $\mathfrak{a} = \mathfrak{b}$ および $\Lambda_\Gamma \subset HP/P$ を用いて、$[e]H$ 上の PS 測度の一様な適切性とコンパクトな台を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 極限錐 $\mathcal{L}_\Gamma$ の内部に属するどの方向 $u$ に対して、行列係数 $\langle \exp(tu)f_1, f_2 \rangle$ が非自明な漸近的減衰を示すか？
• RQ2 高ランク半単純群における行列係数の減衰を記述するため、Burger-Roblin 測度の高ランク版を構成できるか？
• RQ3 一般化された Cartan 分解を用いたとき、$\Gamma$-軌道の $H\backslash G$ 内での漸近的挙動はどのようなものか？
• RQ4 混合性および測度論的技法を用いて、$\Gamma\backslash G$ 内の $\Gamma\backslash \Gamma H$ の平行移動の一致分布性をどのように確立できるか？
• RQ5 幾何的および力学的条件下で、$[e]H$ 上の PS 測度の台がコンパクトかつ正の測度を保つのはどのような場合か？

主な発見

• 極限錐 $\mathcal{L}_\Gamma$ の内部の任意の $u$ に対して、行列係数 $\langle \exp(tu)f_1, f_2 \rangle$ は $\Psi_{\Gamma,u}(t) \to \mu_u(f_1)\mu_u^*(f_2)$ のように漸近的に減衰する。ここで $\mu_u, \mu_u^*$ は一般化された BR 測度である。
• 漸近的減衰は正規化関数 $\Psi_{\Gamma,u}(t)$ によって支配され、極限集合と $P$-Anosov 動力学を用いて構成された高ランク版の Burger-Roblin 測度を含む。
• 二等辺形の数え上げ結果が確立された：一般化された Cartan 分解に関して、$H\backslash G$ 内の $\Gamma$-軌道の数は、$\delta_\Gamma$ を $\Gamma$ の臨界指数として、$e^{\delta_\Gamma T}$ のように漸近的に増加する。
• $[e]H$ 上の Patterson-Sullivan 測度 $\mu_{[e]H}^{\operatorname{PS}}$ の台は $(H \cap \Gamma)\backslash H$ 内でコンパクトであり、$\mathfrak{a} = \mathfrak{b}$ かつ $\Lambda_\Gamma \subset HP/P$ のとき正の質量を持つ。
• $[e]H$ は同じ条件下で $\Gamma\backslash G$ 内で一様に適切であるため、数え上げ測度が適切に振る舞うことが保証される。
• Duke-Rudnick-Sarnak および Eskin-McMullen の数え上げ定理は、Anosov 部分群が高ランク群に拡張され、誤差項が $O(e^{\delta' T})$ で有界であることが示された。ここで $\delta' < \delta_\Gamma$ である。