[論文レビュー] Another four critical points theorem

Biagio Ricceri|arXiv (Cornell University)|Jan 8, 2012

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 4被引用数 4

ひとこと要約

本稿は変分解析における新しい4つの臨界点定理を確立し、最近の厳密なミニマックス不等式に関する結果を用いることで、明示的なミニマックス不等式の仮定を排除した。主な貢献は、3つの摂動を含む汎関数の臨界点の多重性に関する結果であり、その応用により、3次元の擬線形楕円型Dirichlet問題に対して、2つのグローバル最小値と1つの厳密な局所最小値を含む少なくとも4つの臨界点の存在を示した。

ABSTRACT

In this paper, making use of Theorem 2 of [5], we establish a new four critical points theorem which can be regarded as a companion to Theorem 1 of [4]. We also present an application to the Dirichlet problem for a class of quasilinear elliptic equations.

研究の動機と目的

• 文献[4]の定理1の補完として機能する、明示的なミニマックス不等式の仮定を必要としない新しい4臨界点定理の確立。
• 文献[5]の定理2を活用することで、一般条件下で厳密なミニマックス不等式が成立することを保証し、変分問題におけるグローバル最小値の多重性結果の適用範囲を拡張すること。
• 反射的バナッハ空間における摂動エネルギー汎関数に対して、少なくとも4つの臨界点（2つのグローバル最小値と1つの厳密な局所最小値を含む）の存在を保証する十分条件の提示。
• 抽象的結果を擬線形楕円型方程式のDirichlet問題に応用し、非線形項の成長および漸近的条件の下で複数の弱解の存在を証明すること。
• 3つの非線形項を含む$p$-ラプラシアン型方程式に対して、3つの非自明な弱解の存在を示すこと、そのうち2つはエネルギー汎関数のグローバル最小値である。

提案手法

• 証明は、文献[3]の定理1（特定の汎関数クラスに対して少なくとも2つのグローバル最小値が存在することを保証）と、文献[5]の定理2（逐次弱下半連続性および下に有界なコンパクト性条件の下で厳密なミニマックス不等式が成立することを保証）を組み合わせることに依拠する。
• 主定理は、実反射的バナッハ空間$X$上で確立され、汎関数$I$は逐次弱下半連続的で、強制的かつ$C^1$であり、その導関数の逆が連続である。
• この方法では、$\mu(I + \nu J) + \Psi + \lambda^* \Phi$という汎関数の分析が行われ、$J$、$\Psi$、$\Phi$は$C^1$で導関数がコンパクトであるとし、それらの漸近的および局所的挙動に関する条件を課す。
• 主な技術的ツールには、汎関数の下に有界性および下半連続性、$I$の強制的性、およびすべての汎関数が0値をとる点$x_0$における厳密な局所最小値の存在が含まれる。
• 弱位相の議論を用いて最小値の存在を保証し、適切な$r > \sup_{M_\nu} \Phi$の構成と$\mu^*$の定義により、厳密なミニマックス不等式を確立する。
• Dirichlet問題への応用では、$W^{1,p}_0(\Omega)$において$I(u) = \frac{1}{p}\|u\|^p$、$J(u) = -J_h(u)$、$\Psi(u) = -J_f(u)$、$\Phi(u) = J_g(u)$と特定し、$f$、$g$、$h$の点ごとの成長および符号条件を用いて抽象的仮定を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 事前に厳密なミニマックス不等式を仮定しないで、4臨界点定理を確立できるか？
• RQ2 $I$、$J$、$\Psi$、$\Phi$の汎関数にどのような条件下で、摂動された汎関数$\mu(I + \nu J) + \Psi + \lambda^* \Phi$が少なくとも4つの臨界点をもつのか？
• RQ3 非線形項$f$、$g$、$h$にどのような成長および漸近的条件を課すと、$p$-ラプラシアンDirichlet問題に対して複数の弱解が存在するのか？
• RQ4 抽象的な臨界点結果をどのように応用して、PDEの文脈で2つのグローバル最小値と1つの厳密な局所最小値の存在を示せるのか？
• RQ5 点$x_1$が$J(x_1)$、$\Psi(x_1)$、$\Phi(x_1)$のすべての値が負であるという性質が、解の多重性を保証するために果たす役割は何か？

主な発見

• 本稿は、仮定に明示的なミニマックス不等式を含まない新しい4臨界点定理（定理1）を確立した。代わりに、文献[5]の定理2により、一般条件下で厳密なミニマックス不等式が成立することを保証している。
• $\nu > \max\left\{0, -\frac{I(x_1)}{J(x_1)}\right\}$および$\mu > \max\left\{0, -\liminf_{x\to x_0}\frac{\Psi(x)}{I(x)}, \inf_{r > \sup_{M_\nu}\Phi} \mu^*(I+\nu J, \Psi, \Phi, r)\right\}$の各々に対して、汎関数$\mu(I + \nu J) + \Psi + \lambda^* \Phi$は少なくとも4つの臨界点をもつ。
• 4つの臨界点のうち、1つは$x_0$における厳密な局所最小値であり、2つはその汎関数のグローバル最小値である。
• $p$-ラプラシアンDirichlet問題（定理2）への応用では、十分に大きな$\nu > 0$に対して、$\epsilon_\nu > 0$が存在し、すべての$\epsilon \in (0, \epsilon_\nu)$に対して、少なくとも3つの非自明な弱解が存在することが示された。
• 3つの弱解のうち2つは、抽象的定理によって保証されたように、$W^{1,p}_0(\Omega)$における対応するエネルギー汎関数のグローバル最小値である。
• 正の測度を持つ可測集合$B \subset \Omega$と値$\xi_1$が存在し、$\max\{-F(x,\xi_1), G(x,\xi_1), -H(x,\xi_1)\} < 0$ almost everywhere on $B$を満たすことが、解の多重性を保証する重要な条件である。