[論文レビュー] Another Proof of the Fact that Polyhedral Cones are Finitely Generated

Volker Kaibel|ArXiv.org|Dec 15, 2009

graph theory and CDMA systems参考文献 1被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、行列式と核の次元解析を用いて、任意の多面体錐が有限生成であることを示す新しい帰納的証明を提示する。生成子は定義行列の部分行列式から明示的に構成可能であり、有理数性と多項式時間の符号化長を保証する。

ABSTRACT

In this note, we work out a simple inductive proof showing that every polyhedral cone K is the conic hull of a finite set X of vectors. The base cases of the induction are linear subspaces and linear halfspaces of linear subspaces. The proof also shows that the components of the vectors in X can be chosen (up to their sign) to be quotients of subdeterminants of the coefficient matrix of any inequality system defining K.

研究の動機と目的

• 幾何的概念（面や次元など）に依存せずに、任意の多面体錐が有限生成であることを単純で帰納的な証明で示すこと。
• 多面体錐の生成子が、係数行列の部分行列式の商として明示的に構成可能であることを確立すること。
• これらの生成子がΔ(A)^nに属することを示し、有理数性と多項式的符号化長を保証すること。
• 不等式の数に関する帰納法を用いて、有界・無限大の両ケースを扱うことで、Weyl-Minkowski定理の全容への拡張を示すこと。
• 線形計画法の多項式時間解法と整数計画法の可視性問題のNP-membershipを支持する、構成的かつ初等的な証明を提供すること。

提案手法

• 多面体錐を定義する不等式系の不等式数に関する帰納法を用いる。線形部分空間と半空間から出発する。
• 補題1を適用し、2つの場合に分ける：核の交差部分が高次元である場合（基底ベクトルによる有限生成）、およびzが存在してz, -z ∉ Kである場合。
• 後者の場合、不等式行列の行和空間の直交補空間を用いてこのようなzを特定する。直交性と符号条件を活用する。
• 1つの不等式を等式に置き換えることで定義される低次元部分空間と錐の交差を用いて生成子を構成し、帰納的に問題を簡略化する。
• 錐に属する任意の点xが、これらの低次元錐の生成集合の和集合に属する点の線形結合として表現可能であることを示す。
• x + λ*z ∈ K_i^* かつ -z に対しても同様にλ* ≥ 0 が存在することを用い、xを2つの点の線形結合として表現する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 幾何的概念（面など）に依存せずに、任意の多面体錐が有限生成であることを示す単純で帰納的な証明を構築可能か？
• RQ2 Ax ≤ 0 で定義される多面体錐の有限生成集合の明示的構造は何か？
• RQ3 生成子の成分は係数行列Aの部分行列式の関数として有界化可能か？
• RQ4 制約行列の核の次元が有限生成集合の存在に与える影響は何か？
• RQ5 z, -z ∉ K を満たすベクトルzが存在するための条件は何か？これにより帰納的構成が可能になる。

主な発見

• Ax ≤ 0 で定義される任意の多面体錐は、Δ(A)^n に含まれる有限集合Xの線形包（conic hull）として表現可能である。ここでΔ(A)はAの部分行列式の商からなる。
• 証明により、生成子の成分がAの部分行列式の商（符号を除く）として選べることを示した。
• 帰納法の基礎は不等式数に基づく。幾何的概念を避けるために、線形部分空間と線形半空間を基本ケースとする。
• 核の交差部分の次元が dim(ker(C)) - 1 以上である場合、核の基底から導かれる有限集合によって錐が生成される。
• このような高次元核の交差が存在しない場合、z, -z ∉ K を満たすベクトルzが存在し、これにより線形結合による生成子の構成が可能になる。
• 構成法により、錐に属する任意の点は、低次元錐の生成集合の和集合に属する点の線形結合として表現可能であり、有限生成性が証明される。