[論文レビュー] Another proofs of the geometrical forms of Paley-Wiener theorems for the Dunkl transform and inversion formulas for the Dunkl interwining operator and for its dual

Khalifa Trimèche|arXiv (Cornell University)|May 4, 2004

Mathematical Analysis and Transform Methods参考文献 9被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、Dunkl変換に関するPaley-Wiener定理の幾何学的形式についての別証明を提供し、Dunkl間隔作用素 $V_k$ 及びその双対 ${}^tV_k$ の逆作用素の公式を確立する。本稿では、擬微分作用素および $V_k$ と ${}^tV_k$ の双対測度を用いて、これらの逆作用素の表現分布の明示的表現を導出し、Dunkl調和解析におけるこれらの作用素の構造に関する先行研究を拡張する。

ABSTRACT

In this paper we present another proofs of the geometrical forms of Paley-Wiener theorems for the Dunkl transform given in [15], and we prove inversion formulas for the Dunl interwining operator Vk and for its dual tVk and we deduce the expression of the representing distributions of the inverse operators vk(-1) and tvk(-1).

研究の動機と目的

• Dunkl変換に関するPaley-Wiener定理の幾何学的形式について、[15]で既に確立された結果を別証明すること。
• Dunkl間隔作用素 $V_k$ 及びその双対 ${}^tV_k$ の逆作用素公式を導出すること。
• $V_k^{-1}$ および ${}^tV_k^{-1}$ の表現分布を、$V_k$ および ${}^tV_k$ の双対測度を用いて表現すること。
• 擬微分作用素 $P$ および $Q$ 及びそれらの転置を用いて逆作用素を特徴付けること。
• $k(\alpha) \in \mathbb{N}$ である条件の下で、$V_k^{-1}$ および ${}^tV_k^{-1}$ の明示的分布表現を確立すること。

提案手法

• Dunkl間隔作用素 $V_k(f)(x) = \int_{\mathbb{R}^d} f(y) \, d\mu_x(y)$ の積分表現を用いる。ここで $\mu_x$ はコンパクトに台を持つ確率測度である。
• 双対作用素 ${}^tV_k(f)(y) = \int_{\mathbb{R}^d} f(x) \, d\nu_y(x)$ を用いる。ここで $\nu_y$ は $\{x : \|x\| \geq \|y\|\}$ に台を持つ。
• 作用素 $V_k^{-1}(f)(x) = {}^tV_k(Q(f))(x)$ および ${}^tV_k^{-1}(f)(x) = V_k(P(f))(x)$ を満たす擬微分作用素 $P$ および $Q$ を導入する。
• 作用素の転置公式を適用する：$\langle {}^tP(S), f \rangle = \langle S, P(f) \rangle$ および $\langle {}^tQ(S), f \rangle = \langle S, Q(f) \rangle$。
• 逆作用素の分布表現として $\eta_x = {}^tQ(\nu_x)$ および $Z_x = {}^tP(\mu_x)$ を導出する。
• $k(\alpha) \in \mathbb{N}$ の条件を用いて、$^tP$ および $^tQ$ をDunkl作用素 $T_j$ および偏微分と関連する微分作用素の積として明示的に表現する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Dunkl変換に関するPaley-Wiener定理の幾何学的形式は、別法によって再証明可能か？
• RQ2 Dunkl間隔作用素 $V_k$ 及びその双対 ${}^tV_k$ の逆作用素公式は何か？
• RQ3 $V_k^{-1}$ および ${}^tV_k^{-1}$ の表現分布は、双対測度 $\mu_x$ および $\nu_x$ を用いてどのように明示的に特徴付けられるか？
• RQ4 擬微分作用素 $P$ および $Q$ は、逆作用素を表現する際に果たす役割は何か？
• RQ5 逆作用素が双対測度上に作用する転置微分作用素として表現可能となる条件は何か？

主な発見

• 本稿は、Dunkl変換に関する幾何学的Paley-Wiener定理の別証明を提供し、Dunkl変換の像が指数型整関数として特徴づけられることを確認する。
• $V_k^{-1}$ の逆作用素公式は、すべての $f \in \mathcal{D}(\mathbb{R}^d)$ に対して $V_k^{-1}(f)(x) = {}^tV_k(Q(f))(x)$ と与えられ、ここで $Q$ は擬微分作用素である。
• ${}^tV_k^{-1}$ の逆作用素公式は ${}^tV_k^{-1}(f)(x) = V_k(P(f))(x)$ で与えられ、ここで $P$ は擬微分作用素である。
• $V_k^{-1}$ の表現分布 $\eta_x$ は $\eta_x = {}^tQ(\nu_x)$ であることが示され、ここで $\nu_x$ は ${}^tV_k$ の表現測度である。
• ${}^tV_k^{-1}$ の表現分布 $Z_x$ は $Z_x = {}^tP(\mu_x)$ で与えられ、ここで $\mu_x$ は $V_k$ の測度である。
• $k(\alpha) \in \mathbb{N}$ の条件下で、作用素 $^tP$ および $^tQ$ は、Dunkl作用素 $T_j$ および偏微分を含む微分作用素の積として明示的に表現可能であり、$\eta_x = \left[\prod_{\alpha \in R_+} (\alpha_1 T_1 + \cdots + \alpha_d T_d)^{2k(\alpha)} \right](\nu_x)$ および $Z_x = \left[\prod_{\alpha \in R_+} (\alpha_1 \partial_{\xi_1} + \cdots + \alpha_d \partial_{\xi_d})^{2k(\alpha)} \right](\mu_x)$ が得られる。