[論文レビュー] Another subexponential-time quantum algorithm for the dihedral hidden subgroup problem

Greg Kuperberg|arXiv (Cornell University)|Dec 14, 2011

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 4被引用数 29

ひとこと要約

この論文は、量子空間を僅か $O(\log N)$ に抑えながら、$\exp(O(\sqrt{\log N}))$ の部分指数的時間計算量を達成する、二面体隠れ部分群問題（DHSP）の新しい量子アルゴリズムを提示する。従来の手法と比較してリソース要件を顕著に削減している。Regevのアルゴリズムに着想を得て、部分測定を繰り返し行うことで位相ベクトルを段階的に精錬する『コリメーションスクリーン』という木構造を採用し、隠れシフトの偶奇性を効率的に抽出可能にし、古典的リソースと量子的リソースの間でトレードオフを実現できる。

ABSTRACT

We give an algorithm for the hidden subgroup problem for the dihedral group $D_N$, or equivalently the cyclic hidden shift problem, that supersedes our first algorithm and is suggested by Regev's algorithm. It runs in $\exp(O(\sqrt{\log N}))$ quantum time and uses $\exp(O(\sqrt{\log N}))$ classical space, but only $O(\log N)$ quantum space. The algorithm also runs faster with quantumly addressable classical space than with fully classical space. In the hidden shift form, which is more natural for this algorithm regardless, it can also make use of multiple hidden shifts. It can also be extended with two parameters that trade classical space and classical time for quantum time. At the extreme space-saving end, the algorithm becomes Regev's algorithm. At the other end, if the algorithm is allowed classical memory with quantum random access, then many trade-offs between classical and quantum time are possible.

研究の動機と目的

• 二面体隠れ部分群問題（DHSP）のより空間効率的な量子アルゴリズムの開発。これはアーベル型隠れシフト問題と等価である。
• 量子空間要件を削減しつつ部分指数的実行時間の維持を図ることで、最初の部分指数的時間量子アルゴリズムであるRegevのアルゴリズムを改善すること。
• Regevのアルゴリズムを一般化し、古典的空間、古典的時間、量子時間の間で調整可能なトレードオフを可能にすること。
• 複数の隠れシフトの処理を可能とし、パフォーマンス最適化のための量子的にアドレス指定可能な古典メモリ（QRACM）を支援すること。
• 従来の群表現論的手法に依存しない非表現論的アプローチを、特に $D_N$ のような非アーベル群の隠れ部分群問題に適用可能かどうかの探求。

提案手法

• 位相ベクトルが高次元のクーディットを量子ビットに縮退させるために、部分測定を段階的に繰り返す木構造の『コリメーションスクリーン』を用いる。
• 位相ベクトルは、隠れシフトから導かれる位相乗数を持つ量子ビットから構成され、それらの位相乗数テーブルを加算することで合成される。
• 各段階で、位相乗数の和の下位ビットに対する部分測定が実行され、次に次元を低減するためのトリミング測定が行われる。
• スクリーンは深さ優先で木を走査し、各段階で量子レジスタを再利用することで、量子空間使用量を最小限に抑える。
• アルゴリズムは、Regevのキーポイントである量子的にアドレス指定可能な古典メモリ（QRACM）を活用し、古典的時間と量子的時間の間でトレードオフを実現する。
• ヒューリスティックな確率的解析により、各測定ステップで位相ベクトルの長さが十分に保たれることを保証し、各段階で無視できない成功確率を確保する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 二面体隠れ部分群問題の量子空間要件を $O(\log N)$ にまで削減しつつ、部分指数的実行時間を維持できるか？
• RQ2 Regevのアルゴリズムを、古典的空間、古典的時間、量子時間の間で調整可能なトレードオフを可能にするように一般化できるか？
• RQ3 以前の部分指数的アルゴリズムとは異なり、複数の隠れシフトを処理できるように拡張できるか？
• RQ4 量子的にアドレス指定可能な古典メモリ（QRACM）の使用が、全体の時間計算量およびリソース効率に与える影響は何か？
• RQ5 非表現論的アプローチは、特に $D_N$ のような非アーベル群に対して、隠れ部分群問題を解くためにどの程度活用可能か？

主な発見

• アルゴリズムの実行時間は $\widetilde{O}(2^{\sqrt{2\log_2 N}})$ であり、古典メモリコストの現実的仮定のもとでは、Regevのアルゴリズムよりも超多項式的に高速である。
• 量子空間はわずか $O\left(\log N\right)$ に抑えられ、以前のアルゴリズムの $\exp(O(\sqrt{\log N}))$ の量子空間要件と比べ顕著な改善である。
• ヒューリスティックな位相分布の仮定に基づき、最終段階で隠れシフト $s$ の偶奇性を測定する成功確率が $1/2$ 以上であることが保証される。
• 古典メモリが量子アクセスをサポートする（QRACM）場合、アルゴリズムは古典的時間と量子的時間の間で複数のトレードオフを可能とし、Regevのアルゴリズムから空間最適化バージョンまで性能を調整可能である。
• 以前の部分指数的アルゴリズムに欠けていた複数の隠れシフトの処理が可能となり、特定のインスタンスへの適用性が向上する。
• 部分測定におけるバケットサイズの確率的保証により、位相乗数の分布に頼らずに安定した性能を維持でき、各段階で一貫性のある性能を発揮する。