[論文レビュー] Anti-affine algebraic groups

Michel Brion|ArXiv.org|Oct 27, 2007

Finite Group Theory Research参考文献 11被引用数 4

ひとこと要約

この論文は任意の体上の反アフィン代数群を分類し、正標数では半アーベル簇であるか、標数0ではアーベル簇とリー代数を含む拡張であることを示している。分類により、可換代数群の構造的分解が得られ、非完備な反アフィン群上の${\mathbb{G}}_m$- torsorを用いてヒルベルトの14番目の問題に対する新しい反例が構成される。

ABSTRACT

We say that an algebraic group $G$ over a field is anti-affine if every regular function on $G$ is constant. We obtain a classification of these groups, with applications to the structure of algebraic groups in positive characteristics, and to the construction of many counterexamples to Hilbert's fourteenth problem.

研究の動機と目的

• 任意の体上の反アフィン代数群を分類し、特にその構造と代数群の分解における役割を明らかにすること。
• 反アフィン群がローゼンリッヒト分解において果たす役割と、アフィン群や単群との相互作用を理解すること。
• ${\mathbb{G}}_m$-torsor を用いて、反アフィンで非完備な代数群の上に、ヒルベルトの14番目の問題に対する新しい反例を構成すること。
• 正標数の完備体上の連結代数群の構造的結果を確立すること。
• 複素リー群、特にトロイダル（クーソン）群との類似性を描き、その類似性の限界を探ること。

提案手法

• 正標数では、アーベル簇の$k_s$-点におけるガロア安定部分格子を用いて反アフィン群を分類する。
• 標数0では、三つ組$(A, \Lambda, V)$を用いて分類を拡張する。ここで$A$はアーベル簇、$\Lambda$はガロア安定部分格子、$V$は$A$のリー代数の部分空間である。
• セールが導入した、反アフィン多様体から可換代数群への普遍的準同型を用いて構造的結果を導出する。
• 特にアーベル多様体上の$H^0$および$H^1$の計算を用いたコhomological技法を適用し、反アフィン群上の線分束の正則切断を分析する。
• アーベル多様体の上に、反アフィン群に付随する正則な線分束に対する${\mathbb{G}}_m$-torsorを考察することで、ヒルベルトの14番目の問題に対する反例を構成する。
• 反アフィン群$G$が非自明な単群部分をもつとき、$H^0(G, \mathcal{L})$は無限大のフィルトレーションをもつことから、座標環の有限生成性が成り立たないことを用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意の体上の反アフィン代数群の完全な分類は何か。また、標数0と正標数の間でどのように異なるか。
• RQ2 完備体上の連結可換代数群の構造論において、反アフィン群はどのように位置づけられるか。
• RQ3 反アフィン群を用いて、ヒルベルトの14番目の問題に対する新しい反例を構成できるか。
• RQ4 反アフィン群と複素トロイダルリー群との関係は何か。また、このような類似性はどの程度有効か。
• RQ5 連結代数群の完備化における境界の余次元は何か。また、それが純粋に余次元1である条件は何か。

主な発見

• 反アフィン群は滑らかで、連結かつ可換であり、それら上の任意の正則関数は定数関数である。
• 正標数では、反アフィン群はアーベル多様体$A$と$A(k_s)$のガロア安定部分格子$\Lambda$のペア$(A, \Lambda)$によってパラメトライズされる半アーベル多様体である。
• 標数0では、反アフィン群は三つ組$(A, \Lambda, V)$によってパラメトライズされ、ここで$V$は$A$のリー代数の部分空間であり、$A$は$G/G_{\operatorname{aff}}$の双対である。
• ${\mathbb{G}}_m$-torsorが反アフィンで非完備な群に付随する正則線分束に対して、座標環は有限生成でない。これはヒルベルトの14番目の問題に対する反例を提供する。
• 任意の連結代数群$G$の完備化$\overline{G}$に対して、境界$\overline{G} \setminus G$は空または純粋に余次元1である。
• 反アフィンで非完備な$G$に対して、$H^0(G, \mathcal{L})$は無限大の増大フィルトレーションをもち、その各部分商は$H^0(A, \mathcal{M})$に同型である。これにより、特定の$X$に対して$\mathcal{O}(X)$は有限生成でないことが示される。