[論文レビュー] Anti-concentration for polynomials of independent random variables

Alman, Josh, Hoi H. Nguyen+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 3, 2015

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 22被引用数 10

ひとこと要約

本稿は、独立な確率変数の高次元多項式に対する近似的に最良の反拡散境界を確立し、古典的な Littlewood-Offord 結果を拡張する。ランクに基づくフレームワークを導入し、Rademacher 変数、p-バイアス変数、一般の独立変数に対して、このような多項式が長さ 1 の任意の区間に入る確率が、r^{-1/(4d+1)} に比例する項で抑えられることを証明する。ここで r は多項式のランクである。この結果は、計算複雑性理論における長年の課題を解決し、ランダムグラフやブール関数の近似に対してタイトな境界をもたらす。

ABSTRACT

Probabilistic polynomials over commutative rings offer a powerful way of representing Boolean functions. Although many degree lower bounds for such representations have been proved, sparsity lower bounds (counting the number of monomials in the polynomials) have not been so common. Sparsity upper bounds are of great interest for potential algorithmic applications, since sparse probabilistic polynomials are the key technical tool behind the best known algorithms for many core problems, including dense All-Pairs Shortest Paths, and the existence of sparser polynomials would lead to breakthrough algorithms for these problems. In this paper, we prove several strong lower bounds on the sparsity of probabilistic and approximate polynomials computing Boolean functions when 0 means "false". Our main result is that the AND of n ORs of c log n variables requires probabilistic polynomials (over any commutative ring which isn't too large) of sparsity n^Ω(log c) to achieve even 1/4 error. The lower bound is tight, and it rules out a large class of polynomial-method approaches for refuting the APSP and SETH conjectures via matrix multiplication. Our other results include: - Every probabilistic polynomial (over a commutative ring) for the disjointness function on two n-bit vectors requires exponential sparsity in order to achieve exponentially low error. - A generic lower bound that any function requiring probabilistic polynomials of degree d must require probabilistic polynomials of sparsity Ω(2^d). - Building on earlier work, we consider the probabilistic rank of Boolean functions which generalizes the notion of sparsity for probabilistic polynomials, and prove separations of probabilistic rank and probabilistic sparsity. Some of our results and lemmas are basis independent. For example, over any basis {a,b} for true and false where a ≠ b, and any commutative ring R, the AND function on n variables has no probabilistic R-polynomial with 2^o(n) sparsity, o(n) degree, and 1/2^o(n) error simultaneously. This AND lower bound is our main technical lemma used in the above lower bounds.

研究の動機と目的

• 独立した確率変数の高次元多項式に対する、古典的な Littlewood-Offord 反拡散不等式の拡張。
• パリティ関数を計算するための下界に関する、計算複雑性理論における長年の未解決問題の解決。
• 固定グラフのコピー数に関する、ランダムグラフにおけるタイトな反拡散境界の導出。
• Rademacher 変数、p-バイアス変数、非同一な独立変数を含む一般の分布下での多項式の反拡散性に関する先行研究の統合と改善。
• 固定 d に対して、予想される最良の崩壊率 r^{-1/2} にほぼ一致するフレームワークの提供、多項式的要因を除いて。

提案手法

• 多項式のランクを、係数の絶対値が 1 以上の d 要素の互いに素な集合の最大数として定義する。
• 補助的なベルヌーイ変数を用いて、p-バイアス分布および一般の分布をラデマッハ型の設定に変換するための条件付き処理と還元技術を用いる。
• チェルノフ型の不等式を適用し、高い確率で還元された多項式のランクが、元のランクに分布依存係数をかけたもの以上であることを示す。
• ラデマッハ変数に対する主要結果（定理 1.6）を基本ケースとし、測度変換と条件付き処理を用いて、p-バイアスおよび一般の分布へと拡張する。
• 反復的条件付き処理と多項式の制限を用いて、計算複雑性理論における下界を証明し、問題を「制限された多項式が OR を近似する確率を抑える」問題に還元する。
• ランクに基づく反拡散境界を再帰的に適用し、次数が関連する変数の数に対して小さすぎる場合に矛盾を導く。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 線形形式（Littlewood-Offord）の反拡散境界は、任意の次数の高次元多項式へと拡張可能か？
• RQ2 ランク r に関して、次数 d の多項式の小球確率 P(P ∈ I) の最良の崩壊率は何か？
• RQ3 反拡散性を用いて、計算複雑性理論におけるパリティ関数の計算のための近似的に最良の下界を確立できるか？
• RQ4 p-バイアスおよび一般の非 i.i.d. 分布下での多項式の反拡散性の挙動はどのように変化するか？
• RQ5 多項式のランク r が与えられたとき、次数 d の多項式が長さ 1 の区間 I に値をとる確率の最もタイトな境界は何か？

主な発見

• ラデマッハ変数の場合、任意の長さ 1 の区間 I に対して、P(P ∈ I) ≤ min{B d^{4/3} √log r / r^{1/(4d+1)}, exp(B d^2 (log log r)^2) / √r} が成り立つ。ここで r は多項式のランクである。
• この境界はほぼ最適である：固定 d に対して、予想される r^{-1/2} の崩壊率と一致し、多項式的要因を除いては一致する。
• p-バイアス分布の場合、P(P ∈ I) ≤ min{B d^{4/3} (log ˜r)^{1/2} / ˜r^{1/(4d+1)}, exp(B d^2 (log log ˜r)^2) / √˜r} が成り立つ。ここで ˜r = 2^d α^d r かつ α = min{p, 1−p} である。
• 一般の独立変数で正則性条件を満たす場合、P(P ∈ I) ≤ min{B d^{4/3} (log ˜r)^{1/2} / ˜r^{1/(4d+1)}, exp(B d^2 (log log ˜r)^2) / √˜r} が成り立つ。ここで ˜r = (pϵ)^d r である。
• r = Θ(n) であるスパースな多項式の場合、小球確率は O(n^{-1/2 + o(1)}) に抑えられ、以前の O(n^{-1/2 + c/2d}) の境界を改善する。
• 本稿は、特定の分布下で OR 関数を ϵ-近似するのに必要な次数の下界として、Ω((log log n)/(log log log n)) を近似的に最良のものとして証明し、Razborov と Viola が提起した課題を解決した。