[論文レビュー] Anti-concentration in most directions

Anup Rao, Amir Yehudayoff|arXiv (Cornell University)|Nov 15, 2018

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 21被引用数 20

ひとこと要約

本稿は、ハイパーキューブ ${\pm 1\}^n$ 上の独立な2つの確率的ベクトルの内積について、鋭い反集中境界を確立する。ほとんどの方向 $x$ に対して、任意の固定された $k$ について $\langle x,Y\rangle = k$ となる確率は $O(1/\sqrt{n})$ 未塔である。この結果は、集合 $A$ と $B$ にやや弱いサイズ条件が課せられる場合に成り立ち、加法的組合せ論と調和解析の道具を用いて、非構造的かつ非一様な設定への古典的反集中の拡張を達成する。

ABSTRACT

We prove anti-concentration bounds for the inner product of two independent random vectors. For example, we show that if $A,B$ are subsets of the cube $\{\pm 1\}^n$ with $|A| \cdot |B| \geq 2^{1.01 n}$, and $X \in A$ and $Y \in B$ are sampled independently and uniformly, then the inner product $\langle X, Y angle$ takes on any fixed value with probability at most $O( frac{1}{\sqrt{n}})$. Extending Halász work, we prove stronger bounds when the choices for $x$ are unstructured. We also describe applications to communication complexity, randomness extraction and additive combinatorics.

研究の動機と目的

• 確率的ベクトル $X$ と $Y$ が部分集合 $A, B \subseteq \{\pm 1\}^n$ 上でそれぞれ独立かつ一様に分布するとき、内積 $\langle X,Y\rangle$ の強い反集中境界を確立すること。
• 分布が非一様または構造的であっても反集中が成り立つ条件を特定すること。
• 反集中が失敗する「悪い」方向 $x$ の集合を同定し、そのような方向が指数的にまれであることを示すこと。
• 加法的組合せ論の道具を用いて、ハーラーシュ型の反集中結果を非一様分布および非構造的集合へと拡張すること。
• この枠組みを通信複雑性、ランダムネス抽出、加法的組合せ論の問題に応用すること。

提案手法

• 方向ベクトル $x$ の加法的構造と、$A \subset \mathbb{Z}^n$ の二重立方体表現における差分 $d_j = u_j - v_j$ に依存する柔軟な枠組みを用いる。
• 「悪い」角度の集合（集中が生じる可能性がある）を測るため、$D(\theta) = \sum_{j \in G} \sin^2(2\pi \theta d_j)$ を定義する。
• Markovの不等式と $D(\theta)$ のモーメントバウンドを用い、$D(\theta)$ が小さい確率を制御することで、$\langle x,Y\rangle$ の集中と関連付ける。
• ${\mathbb{R}}/{\mathbb{Z}}$ 上の和集合に関するKempermanの定理（またはKneserの定理）を適用し、$D(\theta) \leq \rho$ を満たす $\theta$-集合の測度をバウンドすることで、$\rho$ に関する崩壊推定を得る。
• 未構造的差分集合を捉えるために、弱サイドン集合の概念を導入し、より強い反集中境界を達成する。
• 確率論的および調和解析的手法を加法的組合せ論と組み合わせ、大多数の方向 $x$ に対して $O(1/\sqrt{n})$ の点ごとの集中バウンドを導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 部分集合 $A, B \subseteq \{\pm 1\}^n$ に対して、$X \in A$, $Y \in B$ のとき、内積 $\langle X,Y\rangle$ が反集中を示す条件は何か？
• RQ2 集中確率 $\max_k \Pr[\langle x,Y\rangle = k]$ が $O(1/\sqrt{n})$ より顕著に大きい「悪い」方向 $x$ はどれくらい存在するか？
• RQ3 分布が $Y$ に対して非一様であっても、$X$ と $Y$ が独立でかつ集合が十分に大きい限り、反集中は回復可能か？
• RQ4 差分 $d_j = u_j - v_j$ の加法的構造が、反集中境界の強さにどのように寄与するか？
• RQ5 弱サイドン集合や未構造的差分集合は、構造的または繰り返しのある差分と比較して、反集中にどのように改善をもたらすか？

主な発見

• 任意の $\beta > 0$ と $\delta > 0$ に対して、$|B| = 2^{\beta n}$ であれば、$\{\pm 1\}^n$ 内の方向 $x$ のうち $2^{n(1 - \beta + \delta)}$ 個を除くすべての方向で、集中確率 $\max_k \Pr[\langle x,Y\rangle = k]$ は $O(1/\sqrt{n})$ 未塔である。
• バウンド $O(1/\sqrt{n})$ は鋭く、$A = B = \{\pm 1\}^n$ の場合に古典的リトルウッド＝オーフォルドのバウンドと一致するため、最適性が示される。
• 差分 $d_j$ がすべて相異なる場合、集中確率は $O(1/\sqrt{n})$ よりも速く減少し、やや弱い条件下で $O(1/n^{1/2 + \Omega(1)})$ を達成する。
• 差分の弱サイドン集合に対しては、集中確率は $O(1/\sqrt{n})$ でバウンドされ、悪い方向の数は $2^{n(1 - \beta + \delta)}$ にまで減少する。これは、未構造的集合に対してもロバストであることを示している。
• この枠組みは、$Y$ が一様分布でない場合でも、$X$ と $Y$ が独立でかつ集合 $A, B$ が十分に大きい限り、反集中を回復可能である。
• モーメントバウンドと和集合に関するKempermanの定理に基づく証明技法により、『悪い』角度 $\theta$ の測度を定量的に制御でき、集中確率に指数的崩壊が得られる。