[論文レビュー] Anti-invariant Riemannian maps from almost Hermitian manifolds

Bayram Şahin|arXiv (Cornell University)|Oct 1, 2012

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 14被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、ほぼヘルミート多様体からリーマン多様体への反不変リーマン写像を、反不変リーマン被覆写像の一般化として導入し、誘導された回路の幾何的性質を確立し、元多様体の分解定理を証明する。主な結果は、ケーラー多様体からリーマン多様体への全測地的であることを示す。

ABSTRACT

As a generalization of anti-invariant Riemannian submersions, we introduce anti-invariant Riemannian maps from almost Hermitian manifolds to Riemannian manifolds. We give examples and investigate the geometry of foliations which are arisen from the definition of an anti-Riemannian map. Then we give a decomposition theorem for the source manifold of such maps. We also find necessary and sufficient conditions for anti-invariant Riemannian maps to be totally geodesic and show that every pluriharmonic Lagrangian Riemannian map, which is a special anti-invariant Riemannian map, from a Kähler manifold to a Riemannian manifold is totally geodesic.

研究の動機と目的

• ほぼヘルミート多様体からリーマン多様体への反不変リーマン被覆写像を一般化するために、反不変リーマン写像を導入すること。
• このような写像によって誘導される核と水平分布の回路の幾何を調査すること。
• 反不変リーマン写像の下で、元多様体の分解定理を確立すること。
• このような写像が全測地的であるための必要十分条件を導出すること。
• ケーラー多様体からリーマン多様体への全測地的であることを証明すること。

提案手法

• 写像 $ F: (M, g_M, J) \to (N, g_N) $ を、$ J(ker F_*) \subseteq (ker F_*)^\perp $ を満たす滑らかな写像として反不変リーマン写像と定義し、反不変被覆写像を一般化する。
• 分解 $ TM = ker F_* \oplus \mathcal{H} $ および $ \mathcal{H} = (ker F_*)^\perp $ を用い、$ TN = range F_* \oplus (range F_*)^\perp $ を確保し、$ F $ が定数階の部分埋め込みであることを保証する。
• 水平制限 $ F^h_*: \mathcal{H} \to range F_* $ が線形等長写像である条件を適用し、$ X,Y \in \mathcal{H} $ に対して $ g_M(X,Y) = g_N(F_*X, F_*Y) $ を満たす。
• 第二基本形式 $ \nabla F_* $ を分析し、全調和性条件 $ (\nabla F_*)(X,Y) + (\nabla F_*)(JX,JY) = 0 $ を $ X,Y \in \Gamma(ker F_*) $ に対して適用する。
• ランク定理とケーラー構造を用いて $ ker F_* $ の積分可能性を示し、$ \nabla F_* $ が $ ker F_* \times \mathcal{H} $ で消えることを示し、全測地的性を示す。
• ねじれ積分解定理を適用し、$ M_1 $ が局所的に $ M_{(ker F_*)^\perp} \times_f M_{ker F_*} $ の形のねじれ積であるならば、そのようなラグランジュリーマン写像は存在しないことを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 反不変リーマン写像によって誘導される核と水平分布の回路の幾何的構造は何か？
• RQ2 反不変リーマン写像の元多様体がねじれ積に分解可能な条件は何か？
• RQ3 反不変リーマン写像が全測地的であるのはいつか？
• RQ4 ケーラー多様体からリーマン多様体への全調和的ラグランジュリーマン写像は、常に全測地的であるか？
• RQ5 形式 $ M_{(ker F_*)^\perp} \times_f M_{ker F_*} $ の局所的ねじれ積多様体上にラグランジュリーマン写像は存在するか？

主な発見

• 反不変リーマン写像は、$ F_* $ の像が $ TN $ の真部分集合であることを許容し、$ (range F_*)^\perp \neq \{0\} $ であるため、反不変リーマン被覆写像を一般化する。
• 水平分布と垂直分布が積分可能で曲率条件を満たすならば、反不変リーマン写像の元多様体はねじれ積 $ M_{(ker F_*)^\perp} \times_f M_{ker F_*} $ に分解可能である。
• 反不変リーマン写像が全測地的であるための必要十分条件は、第二基本形式 $ \nabla F_* $ が $ ker F_* \times ker F_* $ で消えることである。
• ケーラー多様体からリーマン多様体への全調和的ラグランジュリーマン写像は、すべて全測地的である。これは、$ \nabla F_* $ が $ ker F_* \times ker F_* $、$ ker F_* \times \mathcal{H} $、および $ \mathcal{H} \times ker F_* $ で消えることによって示される。
• 元多様体が局所的にねじれ積 $ M_{(ker F_*)^\perp} \times_f M_{ker F_*} $ に等長であるならば、ケーラー多様体からリーマン多様体へのラグランジュリーマン写像は存在しない。これは積分可能性と曲率の障害による。
• 核 $ ker F_* $ の積分可能性は、ランク定理と $ F $ が定数階の部分埋め込みであることから保証され、分解および全測地的性の結果にとって不可欠である。