[論文レビュー] Anti-Perfect Morse Stratification

Nan-Kuo Ho, Chiu-Chu Liu|arXiv (Cornell University)|Aug 28, 2008

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 12被引用数 11

ひとこと要約

本稿は、非可定向な曲面上のYang-Mills汎関数に対して、等長的反完全なモース層化の概念を導入し、G = U(2), SU(2), U(3), SU(3) の場合に、層化が局所的に等長的ℚ-反完全であることを示している。著者らは、π₁(Σ) からこれらの群への表現多様体の有理係数等長的ペインカーレ系列の明示的公式を導出し、U(2)/SU(2) については既知の結果と整合することを確認するとともに、U(3)/SU(3) については新たな公式を提案している。

ABSTRACT

For an equivariant Morse stratification which contains a unique open stratum, we introduce the notion of equivariant antiperfection, which means the difference of the equivariant Morse series and the equivariant Poincare series achieves the maximal possible value (instead of the minimal possible value 0 in the equivariantly perfect case). We also introduce a weaker condition of local equivariant antiperfection. We prove that the Morse stratification of the Yang-Mills functional on the space of connections on a principal U(n)-bundle over a connected, closed, nonorientable surface is locally equivariantly Q-antiperfect when the rank n=2,3; we propose that it is actually equivariantly Q-antiperfect when n=2,3. Our proposal yields formulas of G-equivariant Poincare series of the representation variety of flat G-connections for the nonorientable surface where G=U(2), SU(2), U(3), SU(3). Our rank 2 formulas agree with formulas proved by T. Baird in arXiv:0806.1975. Baird verified our conjectural rank 3 formulas when the nonorientable surface is the real projective plane or the Klein bottle (arXiv:0901.1604); he proved our conjectural U(3) formula for any closed nonorientable surfaces by establishing equivariant Q-antiperfection in this case (arXiv:0902.4581).

研究の動機と目的

• 等長的反完全なモース層化を定義・研究すること。これは、等長的モース系列とペインカーレ系列の差が、完全な場合（ゼロ）ではなく、最大の値を取ることを特徴とする。
• アティヤ・ボットの等長的モース理論を、標準的な完全性が位相的障害により失敗する非可定向な曲面へと拡張すること。
• 非可定向な曲面上の主G bundle 上のYang-Mills汎関数の、Hom(π₁(Σ), G) の有理係数等長的ペインカーレ系列を計算すること。
• G = U(2), SU(2), U(3), SU(3) の場合に、非可定向な曲面上のYang-Mills汎関数のモース層化が、全体的に等長的ℚ-反完全であると提唱すること。

提案手法

• 等長的モース系列と等長的ペインカーレ系列の差を用いて、局所的等長的反完全性の概念を導入する。この差は最小化されるのではなく、最大化される。
• アティヤ・ボットのゲージ理論的枠組みを用い、非可定向曲面の可定向二重被覆上の反正則自己同型の固定集合にYang-Mills汎関数を制限する。
• モース層化の正規バンドルを解析し、G = U(n), SU(n) の場合にその可定向性を証明することで、有理数係数の使用を可能にする。
• 群作用と軌道分解を用いて、層化の等長的ペインカーレ系列の計算を対称的表現多様体へと還元する。
• 還元を適用し、アティヤ・ボットのタイプ (r,0,-r) に添え字が付く層化のペインカーレ系列を、U(1) × U(1) および U(1) の作用に関する既知の公式を用いて計算する。
• すべての層化にわたる和を取ることで、総ペインカーレ系列の再帰的公式を導出する。ここで、Mₜᴳ(L;ℚ) − Pₜᴳ(𝒜;ℚ) = (1+t)Rₜᴳ(ℚ) という恒等式を用い、Rₜᴳ(ℚ) が最大となるようにする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非可定向な曲面上のYang-Mills汎関数のモース層化に、等長的反完全性の概念を定義し適用できるか？
• RQ2 なぜ G = U(2), SU(2), U(3), SU(3) の場合に、非可定向な曲面上のモース層化が等長的ℚ-完全でないのか。そして、完全性条件に代わるものは何か？
• RQ3 非可定向な曲面上の G = U(2), SU(2), U(3), SU(3) に対して、表現多様体 Hom(π₁(Σ), G) の有理係数等長的ペインカーレ系列は何か？
• RQ4 非可定向な曲面上のYang-Mills汎関数のモース層化は、G = U(2), SU(2), U(3), SU(3) の場合に、全体的に等長的ℚ-反完全か？
• RQ5 反完全な層化データを用いて、平坦接続の空間のペインカーレ系列を再帰的に計算できるか？

主な発見

• 非可定向な曲面上の主G bundle 上のYang-Mills汎関数のモース層化は、G = U(2), SU(2), U(3), SU(3) の場合に局所的に等長的ℚ-反完全である。
• G = U(2) および SU(2) の場合、導出された Hom(π₁(Σ), G) のペインカーレ系列は、T. Baird が得た既知の公式と一致し、このアプローチの妥当性を裏付けている。
• G = U(3) および SU(3) の場合、本稿では Hom(π₁(Σ), G) の有理係数等長的ペインカーレ系列に対して新たな公式を提案しており、反完全な枠組みと整合的である。
• 添え字 (r,0,-r) の層化のペインカーレ系列は、G = U(3), SU(3) の場合、Pₜᴳ(𝒜ₜ;ℚ) = (1+t)²ᵍ / (1−t²) として計算される。ここで ḡ は可定向二重被覆の genus である。
• 接続空間の総ペインカーレ系列は、G = U(3), SU(3) の場合、Pₜ(ℬ𝒢;ℚ) = (1+t³)ᵍ(1+t⁵)ᵍ / [(1−t⁴)(1−t⁶)] を満たし、全系列は反完全な層化にわたる和を取ることで再構成される。
• 恒等式 Pₜᴳ(X_flat;ℚ) = Pₜ(ℬ𝒢;ℚ) + ∑ᵣ>₀ t^{dᵣ−1} Pₜᴳ(𝒜ᵣ;ℚ) が成り立ち、最大の Rₜᴳ(ℚ) = ∑ᵣ>₀ t^{dᵣ−1} Pₜᴳ(𝒜ᵣ;ℚ) をとることにより、反完全構造が確認されている。